Black-Scholes 公式給定任意值小號噸小號噸S_{T}

當我們預期收益時，是否有布萊克和斯科爾斯的公式 $ \mathbb{E}[\max(se^{X}-K,0)] $ 為了 $ X $ 有任何正態分佈嗎？

讓 $ X\sim N(m,v^2) $ 是正態分佈的。然後，對於所有罷工 $ K>0 $ 和 $ \omega\in{-1,1} $ , $$ \begin{align*} \mathbb{E}[\max{\omega(e^X-K),0}]=\omega e^{m+\frac{1}{2}v^2}\Phi\left(\omega\frac{m-\ln(K)+v^2}{v}\right)-\omega K\Phi\left(\omega\frac{m-\ln(K)}{v}\right), \end{align*} $$ 在哪裡 $ \Phi $ 是標準的正常 cdf。指標 $ \omega $ 用於區分您是否有看漲期權（ $ \omega=1 $ ) 或看跌期權 ( $ \omega=-1 $ ).

它直接來自對數正態密度的積分。Brigo 和 Mercurio稱其為“有用的計算”。

Black-Scholes 公式是這個方程的一個特例，其中 $ m=\ln(S_0)+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T $ 和 $ v^2=\sigma^2T $ .

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/57657