Black-Scholes PDE：邊界條件的形式是什麼
我正在研究 Black-Scholes 方程，但我對金融建模還很陌生。現在，我正在嘗試理解 Black-Scholes PDE。我知道 Black-Scholes 方程由下式給出
$$ \begin{equation*} \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} + rS \frac{\partial C}{\partial S} - rC = 0 \end{equation*} $$ 有初始條件 $$ \begin{equation*} C(S,T) = \max (S-K, 0) \end{equation*} $$ 和邊界條件 $$ \begin{equation*} C(0,t) = 0 \hspace{35pt} C(S,t) \rightarrow S \text{ as } S \rightarrow \infty \end{equation*} $$ 和 $ C(S,t) $ 被定義在 $ 0 < S < \infty $ , $ 0 \leq t \leq T $ . 變換後的方程是
$$ \begin{equation*} \frac{\partial u}{\partial \tau} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + (k-1)\frac{\partial u}{\partial x} - ku \end{equation*} $$ 下面的matlab 程式碼實現了這一點。**我的問題是，轉換後的方程的邊界條件究竟是什麼形式？**我似乎無法理解 Matlab 程式碼中給出的參數（與邊界條件相關）。任何相關文獻將不勝感激。
作為一個附加問題，對於下圖
,
當您等到 t = 4 和 S = 時，您將獲得最大的回報 $ e^{0.5} $ . 這種見解正確嗎？此外，在上圖中，含義是什麼？既然回報最大的時候去， $ t $ 是最大值，這是否意味著我們應該儘早行使期權？
你似乎很喜歡偏微分方程，而不太喜歡金融。看漲期權在未來某個時間給出 $ T $ 回報
$$ max(S_T-K,0), $$ 因此如果 $ S_T $ 大於 $ K $ 那麼這就是你得到的，否則什麼都沒有。PDE 告訴您值如何隨 $ S $ 和 $ t $ . 理論告訴我們，今天這個期權的價格（在 $ t=0 $ ) 作為貼現的預期收益給出。
您在網格上求解 PDE。那裡的價值必須是最大的，當 $ S $ 是最大的。在現實中（在理論上，在整個實線上），價值是無限的。
編輯：請注意，上面的等式是終端值。這個很瑣碎，任務是計算這個期權當時的價格 $ t $ , $ 0 < t < T $ . 此外，數學金融處理這種頭寸的對沖。
我不太喜歡偏微分方程，但你所說的偏微分方程是歐洲風格呼叫的偏微分方程——對嗎？在這種情況下，您只能在 $ T $ . 對於所謂的美式期權，您可以在任何時間點行使 $ u, 0 < u \le T $ . 如果股票不支付股息，那麼您將永遠不會提前行使期權，因為持有期權的價格總是更高（見此處）。在這種情況下，美式期權的價格與歐式期權的價格相同。首先閱讀這兩種風格。基本參考書是 John Hull：期權、期貨和其他衍生品。您可以在網上找到幻燈片。