Black Scholes 可分離解決方案

我想找到 Black Scholes PDE 的所有解決方案，其形式為 $ f(x,t)=\theta(x) $ 或者 $ f(x,t)=\phi(t) $ .

有人可以對此進行解釋和幫助嗎？我知道 PDE 公式是

$ f_{t}(t, x)=-\frac{1}{2} \sigma^{2}x^2 f_{x x}(t, x)-r x f_{x}(t, x)+rf(t, x) $

$ f(T, x)=h(x) $

謝謝！

$ f(t,x)=\theta(x) $ 意味著實際價格 deos 不取決於時間，因此： $$ f(t,x)=f(T,x)=h(x) $$ 所以唯一的解決辦法是 $ h(x) $ .

$ f(t,x)=\phi(t) $ 意味著價格 deos 不取決於價格。這意味著在時間 T： $$ f(T,x)=\phi(t)=h(x) $$ 因此，如果 h 取決於 x，則沒有解；如果 h 為常數，則只有一個解 $ \phi=h $

您可能會發現查看熱方程的“變數分離”方法很有用（它通常用於有界域上的 PDE，但仍然有用）。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/51126