簡單來說，為什麼函式 N(x) 會出現在歐式看漲期權定價模型中？
我知道股票歐洲看漲期權價格的數學公式，但我想以直覺的方式考慮它。
這是因為 Black 和 Scholes 假設股票遵循幾何布朗運動，即在歷史機率下 $ \mathbb{P} $ 股票根據以下情況變動：
$$ \frac{dS(t)}{S(t)} = \mu dt + \sigma dW^{\mathbb{P}}(t) $$ 求解這個 SDE，我們得到 $$ S(t)=S(0)e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W^{\mathbb{P}}(t)} = S(0)e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma \sqrt{t} z} $$ 在哪裡 $ z \sim N(0,1) $ . 由於 Girsanov 定理，我們可以證明在風險中性測度下，股票仍然遵循布朗運動，特別是可以證明，在 $ \mathbb{Q} $ 股價跟隨 $$ S(t)=S(0)e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W^{\mathbb{Q}}(t)} = S(0)e^{(r - \frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma \sqrt{t} z} $$ 可以證明，期權的價格應該等於風險中性測度下的期望值（ $ \mathbb{Q} $ ) 到期時的貼現收益，即 $$ c(S,t) = \mathbb{E}t^{\mathbb{Q}}[(S(T) - K)^+ e^{-r(T-t)}] $$ 現在，取期望值： $$ c(s,t)= \mathbb{E}t^{\mathbb{Q}}[(S(T) - K)^+ e^{-r(T-t)}] = \int{S(T)>K}(S(T)-K)e^{-r(T-t)}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz = $$ $$ = \int{S(T)>K}(S(t)e^{(r - \frac{1}{2}\sigma^2)(T-t) + \sigma \sqrt{T-t} z}-K)e^{-r(T-t)}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz = $$ $$ = S(t)N(d_1) - Ke^{-r(T-t)}N(d_2) $$ 在哪裡 $$ d_1=\left[ln\frac{S(t)}{K} + (r-\frac{\sigma^2}{2}(T-t))\right]\frac{1}{\sigma\sqrt{T-t}} $$ $$ d_2= d_1 - \sigma\sqrt{T-t} $$ 請注意 $ d_1 $ 僅表示 z st S(T) > K 的截止點，即期權在價內平倉的位置。總而言之，正常的 cdf 只是源自股票在歷史和風險中性機率測度下像幾何布朗運動一樣擴散的假設。