Black-Scholes 公式的連續性
如何證明 B&S 定價公式在時間上是連續的 $ t $ （或者不是？）。
一般定價公式為
$$ C_t = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^[(S_T-K)^+ | \mathcal{F}_t] \hspace{1cm} 0\leq t\leq T $$ 然後在成熟的時候 $ t=T $ $$
C_T = \mathbb{E}^[(S_T-K)^+ | \mathcal{F}T] = (S_T-K)^+ $$ 這是邏輯。其他時間 $ t<T $ , 積分計算給出 $$ C_t = S_t \mathcal{N}(d+) - e^{-r(T-t)} K \mathcal{N}(d_-) $$ 和 $$ d\pm = \frac{\text{ln}\frac{S_t}{K} + (r\pm\frac{\sigma^2}{2})(T-t) }{\sigma\sqrt{T-t}} $$ 自從 $ S_t $ 被建模為幾何布朗運動，它必須是連續的 $ t $ . 我看到 B&S 公式中的所有內容都是連續的 $ t $ . 但我無法證明連續性 $$ C_t \rightarrow C_T \hspace{1cm} \text{when } t\rightarrow T $$
首先，讓我們記住，按屬性 $ \mathcal{N} $ 作為一個累積分佈函式，我們有
$$ \lim_{x \to -\infty}\mathcal{N}(x) = 0 $$和$$ \lim_{x \to \infty}\mathcal{N}(x) = 1 $$. 現在，讓我們看看隨著時間的推移，Black-Scholes 價格的表現如何。首先我們有
$$ d\pm = \left(\frac{\text{ln}\frac{S_t}{K}}{\sigma\sqrt{T-t}} + (r\pm\frac{\sigma^2}{2})\sqrt{T-t}\right) $$ 和
$$ C_t = \left(S_t-e^{-r(T-t)}K\right)\cdot\mathcal{N}(d+) + e^{-r(T-t)}K\cdot\left(\mathcal{N}(d+)-\mathcal{N}(d-)\right) $$ 可以進一步改寫為
$$ C_t = \left(S_t-e^{-r(T-t)}K\right)\cdot\mathcal{N}(d+) + \frac{e^{-r(T-t)}K}{\sqrt{2\pi}}\int_{d-}^{(d-)+\sigma^2\sqrt{T-t}} e^{-\frac{z^2}{2}}, dz $$ 首先，注意到 $ z \mapsto e^{-\frac{z^2}{2}} $ 有界 $ \mathbb{R} $ ，我們可以推斷出第二項去 $ 0 $ 作為 $ t $ 去 $ T $ 因為積分間隔變得任意小。
所以收斂 $ C_t $ 由第一項的值決定，根據不同的限制 $ S_T/K $ :
- 如果 $ S_T > K $ ， 然後 $ \ln\frac{S_T}{K} > 0 $ 和 $ \lim d+ = \infty $ ， 所以 $ \lim C_t = \left(S_T - K\right)\cdot\mathcal{N}(\infty) = S_T - K $
- 如果 $ S_T < K $ ， 然後 $ \ln\frac{S_T}{K} < 0 $ 和 $ \lim d+ = -\infty $ ， 所以 $ \lim C_t = \left(S_T - K\right)\cdot\mathcal{N}(-\infty) = 0 $
- 如果 $ S_T = K $ ， 然後 $ S_t $ 去 $ K $ ，並記住 $ \mathcal{N} $ 由 $ 0 $ 和 $ 1 $ ， 我們有 $ \lim C_t = 0 $