使用預期收益推導 Black Scholes
呼叫的支付函式是 $ f(S_T, K) = (S_T - K)^+ $ ，所以預期的回報應該讓我能夠評估這個電話的價格。
$$ \mathbb{E}[f(S_T, K)] = \mathbb{E}[(S_T - K)^+] = \mathbb{E}[(S_T - K) \cdot \mathbb{1}(S_T - K > 0)] $$ $$ = e^{-rT} (S_T - K) \mathbb{E}[\mathbb{1}(S_T - K > 0)] $$ $$ = e^{-rT} (S_T - K) \mathbb{P}[(S_T - K > 0)] $$ 現在問題被簡化為計算機率 $ S_T $ 會大於 $ K $ .
$$ \mathbb{P}[(S_T - K > 0)] = \mathbb{P}[(S_T > K)] $$ $$ = \int_K^{\infty} dx $$ 在哪裡 $ dx = dS_T = \mu S_0 dt + \sigma S_0 dW $ $$ = \int_K^{\infty} \mu S_0 dt + \sigma S_0 dW $$ 我認為這不是正確的方法，我將不勝感激有關此事的任何意見。謝謝。
你知道 SDE 的解決方案
$$ \begin{equation} \mathrm{d}S_t = \mu S_t \mathrm{d}t + \sigma S_t \mathrm{d}W_t \end{equation} $$ 是
$$ \begin{equation} S_T = S_0 \exp \left{ \left( \mu - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) T + \sigma W_T \right} \end{equation} $$ 現在， $ W_T \sim \mathcal{N}(0, T) $ ， 所以
$$ \begin{equation} S_T > K \qquad \Leftrightarrow \qquad S_0 \exp \left{ \left( \mu - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) T + \sigma \sqrt{T} X \right} > K, \end{equation} $$ 在哪裡 $ X \sim \mathcal{N}(0, 1) $ . 重新安排產量
$$ \begin{equation} X > \frac{1}{\sigma \sqrt{T}} \left( \ln \left( \frac{K}{S_0} \right) - \left( \mu - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) T \right) := \alpha \end{equation} $$ 現在， $ \mathbb{P} \left{ X > \alpha \right} = \mathbb{P} \left{ X < -\alpha \right} $ 因此 $ \mathbb{P} \left{ S_T > K \right} = \mathbb{P} \left{ X < -\alpha \right} = \mathcal{N}(-\alpha) $ .