將 Black-Scholes 公式推導出為期權支付的期望值
我的問題涉及歐式期權價值的布萊克-斯科爾斯公式，即
$$ \begin{align} C(S_t, t) &= N(d_1)S_t - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S_t}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \ \end{align} $$ 首先，出於這個問題的目的，我想忽略使用 Black-Scholes PDE 動態對沖參數推導這個公式，我沒有詳細討論過，但我原則上理解。相反，我希望有人向我解釋為什麼下面的論點是錯誤的，它導致我得到一個與上面的答案（稍微）不同的答案。
Black-Scholes 股票走勢模型假設 $ \Delta S $ 在一個小的時間間隔內的股票價格 $ \Delta t $ 表現為
$ \Delta S = \mu S \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} \varepsilon S $
在哪裡 $ \mu = \text{drift rate} $ , $ \sigma = \text{volatility} $ （常數），和 $ \varepsilon $ 是公平的硬幣翻轉導致 $ 1 $ 和 $ -1 $ （我更喜歡這個增量方程而不是隨機方程，我不喜歡 Ito 的引理等等）。 $ S_T $ ，當時的股價 $ T $ , 那麼 (對於固定 $ \Delta t $ ) 隨機變數
$ S_T = S_0 \left(1+\mu \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} \right)^X \left(1+\mu \Delta t - \sigma \sqrt{\Delta t}\right)^{N-X} $
在哪裡 $ X $ 是一個二項式 RV，計數 $ 1 $ 來自硬幣翻轉和 $ N = T/\Delta t $ . 使用正態近似 $ X $ 並讓 $ \Delta t \rightarrow 0 $ 得到我們
$ S_T = S_0 e^{(\mu-\sigma^2/2)T}e^{\sigma \sqrt{T} Z} $
在哪裡 $ Z $ 是標準正常的（或者我們可以替換 $ \sqrt{T} Z $ 布朗運動 $ W $ 對於動態模型）。
現在，該股票的歐式期權按執行價格的公允價值是多少 $ K $ 和到期時間 $ T $ ? 好吧，平均而言，這種期權的賣方預計必須在到期時付款
$ E[\text{max}(S_T - K,0)] $
即期權支付的期望值。所以今天給它定價，人們會用無風險利率來折現這個預期的支出：
$ e^{-rT}E[\text{max}(S_T - K,0)] $
但是，這是錯誤的，根據布萊克-斯科爾斯公式給出的一個開頭。我會省去你的計算，但事實上，只有當我們改變我們的模型時，這個計算才會返回正確的 Black-Scholes 公式 $ S_T $ 至
$ S_T = S_0 e^{(r-\sigma^2/2)T}e^{\sigma \sqrt{T} Z} $
也就是說，通過替換 $ \mu $ ，股票的漂移率，到 $ r $ ，無風險利率。所以我的問題是，為什麼我們有理由這樣做？為什麼可以，為了這個計算的目的，“假裝”股票的漂移率是 $ r $ ，當它很好時可能不在現實生活中？
關於我的計算，我想到了兩個反對意見。首先，由於股票本身的波動性，它假設評估期權的人只關心其預期收益，而不關心收益的波動性（即它假設風險中性，但情況可能並非如此）。儘管如此，如果有人賣出足夠多的這些期權（相同但獨立的股票）以使平均定律獲勝，那麼這將是一個正確的估值。其次，這似乎並沒有實際計算期權的市場價值，而只是計算賣方的預期成本。也就是說，賣方的預期成本可能與買方的價值並不完全相同。但是，如果有人以這個價格以外的價格提供期權，
我對你對這些反對意見的看法很感興趣。但我的大問題仍然是：為什麼要更換 $ \mu $ 和 $ r $ 引導我們找到正確的公式，當 $ \mu $ 和 $ r $ 幾乎永遠不相等？謝謝你的幫助。
您的文章中有很多不同的問題需要解決。
我希望有人向我解釋為什麼下面的論點是錯誤的，它導致我得到一個與上面的答案（稍微）不同的答案。
讓 $ \mathbb{P} $ 指定現實世界的機率，您的推理不正確的原因是因為您假設：
平均而言，此類期權的賣方預計必須在到期時支付
$$ \mathbb{E}^{\mathbb{P}}[\max(S_T−K,0)] $$ 這是期權支付的預期價值。所以今天給它定價，人們會用無風險利率來折現這個預期的支出。
如果看漲期權和它所寫的標的資產，你的推理是正確的 $ - $ 我們用它來對沖我們的風險 $ - $ 沒有被交易。要理解這一點，請考慮一種更簡單的產品：寫在股票上的遠期合約，您承諾在到期時買入或賣出一股股票 $ T $ 價格 $ K $ . 的期望值 $ S_T $ 在您的模型下是：
$$ \mathbb{E}^{\mathbb{P}}[S_T]=S_0e^{\mu T} $$ 這是遠期合約的公平價格嗎：
$$ K = S_0e^{\mu T} \text{ ?} $$ 好吧，不：假設您可以與客戶簽訂此契約，該客戶與您和市場上的其他參與者一樣，可以按一定利率借款 $ r<\mu $ . 客戶可與您簽訂遠期賣出協議，讓您承諾以價格買入股票 $ K $ 以上時間 $ T $ . 然後客戶可以按利率借款 $ r $ 金額 $ S_0 $ $ - $ 即等於股票的目前價格 $ - $ 成熟的 $ T $ 並立即購買股票。在 $ T $ ，您的客戶將：
- 使用他購買的股票 $ t=0 $ 將庫存傳遞給您；
- 擁有一定數額 $ S_0e^{rT} $ 給他的貸款人；
- 收到金額 $ S_0e^{\mu T} $ 從把股票賣給你。
所以他的最終回報將是：
$$ S_0(e^{\mu T}-e^{rT}) > 0 $$ 這構成了套利機會。市場將使這些消失，因為它們構成了“免費貨幣”。那麼遠期合約收取的正確價格是多少？好吧，客戶總是可以選擇借款 $ S_0 $ 以速率 $ r $ 並在到期時為您提供股票，因此避免套利策略的唯一合乎邏輯的價格是：
$$ K_{\text{For}} = S_0e^{rT} $$ 你在這裡看到了一些東西：
- 與更複雜的看漲期權範例一樣，為遠期合約定價等同於要求股票價格的收益率為 $ r $ 在某種機率測度下：股票的真實平均回報是否為 $ \mu $ ，您可以通過按一定利率借款來對沖風險的事實 $ r $ 覆蓋此屬性。
- 當導數 $ - $ 看漲期權，遠期合約 $ - $ 或者它的底層證券可以交易，因此可以對沖風險，那麼你所呼叫的大數定律就會被套利機會的要求所推翻（在現實生活中，套利機會很快就會消失）。有關這方面的更多詳細資訊，您可以查看我對“為什麼衍生品是衍生品而不是保險契約的參考”問題的回答。
儘管如此，如果有人賣出足夠多的這些期權（相同但獨立的股票）以使平均定律獲勝，那麼這將是一個正確的估值。
事實是，通過以這種方式對衍生品進行估值，他會讓市場參與者在每份合約上套利，從而導致資金流失。
但我的大問題仍然是：為什麼要更換 $ \mu $ 和 $ r $ 引導我們找到正確的公式，當 $ \mu $ 和 $ r $ 幾乎永遠不相等？
直覺上，你可以這樣想：重要的不是標的資產的收益率，而是你可以藉入標的資產來對沖自己的利率。
從數學上講，理解這一點的最短方法是通過 PDE 方法。您可能知道，通過動態對沖參數，您可以推導出決定期權價值的偏微分方程；讓 $ C_t $ 是看漲期權的價格和 $ \Phi(S_T)=\max(S_T-K,0) $ 它的回報，這個 PDE 是：
$$ \frac{\partial C_t}{\partial t} + \frac{\partial C_t}{\partial S_t}rS_t +\frac{1}{2}\frac{\partial^2C_t}{\partial S_t^2}\sigma^2S_t^2-rC_t = 0 $$ 無論如何，這裡的重點是我們可以將描述其解的Feynman-Kac 定理應用於該 PDE 方程，即函式 $ C_t $ 遵循那些具有終止條件的動態 $ C_T=\Phi(S_T) $ , 可以計算為以下期望 $ - $ 在機率測度下 $ \mathbb{Q} $ 股票價格的漂移在哪裡 $ r $ :
$$ C_0 = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_0^Trdt}\Phi(S_T)|S_0\right] = e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\max(S_T-K,0)|S_0\right] $$ 事實上，為衍生合約定價等同於在機率測度下計算其收益的預期 $ \mathbb{Q} $ 股票的價格漂移在哪裡 $ r $ 代替 $ \mu $ 只不過是費曼-卡克定理產生的一個數學技巧。