給定中心極限定理，我們是否需要假設 BSM 模型中的潛在回報是正常的？
我試圖更好地理解中心極限定理以及它如何在生活和金融中使用。根據我的閱讀，BSM 模型假設標的資產的簡單回報是正態分佈的。它還假設基礎資產價格呈對數正態分佈。
我的第一個問題是：鑑於 CLT 存在，我們是否甚至需要假設潛在的簡單回報是正常的？
假設簡單的回報，R，遵循一個未知的形狀分佈。S 是標的資產的價格。我們知道：
S1 = S0 * (1 + R0)
S2 = S1 * (1 + R1) = S0 * (1 + R0) * (1 + R1)
Sn = S0 * (1 + R0) * (1 + R1) * … * (1 + Rn)
ln(Sn) = ln(S0) + ln(1 + R0) + ln(1 + R1) + … + ln(1 + Rn)
根據 CLT，當 n 接近無窮大時，ln(1 + R0) + … + ln(1 + Rn) 之和的分佈應該接近正態分佈，這意味著 ln(Sn) 是正態的，這意味著 S本身是對數正態分佈的。因此，如果我們假設簡單回報是正常的，因為無論 R 的分佈如何，CLT 都會使 ln(S) 接近正常，這是否重要？
我的第二個問題是：如果我們做出正常假設並不重要，為什麼在期權定價或更廣泛的金融中，我們經常談論肥尾和非正態性？CLT 不應該使分佈的形狀無關緊要嗎？我從經驗上理解存在肥尾，並且我理解正常的假設使數學變得容易。
謝謝！
我會盡量簡潔。許多資產在長期範圍內的對數回報總和與正常水平的對數回報分佈相比，趨向於偏離正態分佈，並且隨著時間範圍的增加（即回報頻率降低），接近度會變得更好。實際上，您可以將低頻日誌返回視為高頻日誌返回的總和，這就是日誌返回的美妙之處。但是當你在現實世界中為期權定價時，你無法向市場贈送禮物，因此你不能將長期低頻收益的漸近分佈作為
- 期權將有一定的離散期限
- 在大多數情況下，成熟期也不會那麼長（這將是幾天而不是幾十年的問題）
因此，正常對數返回的假設只是一個理論假設，不能在現實世界中用於多個應用程序。當然，這是對資產價格的經驗現實世界動態的明顯簡化。請記住，理論需要做出假設，否則問題很快就會變得棘手。
特定頻率下回報的“真實”機率分佈是未知的。我們能做的是研究經驗證據，並嘗試用非參數技術對其進行近似。當你這樣做時，你會看到在絕大多數情況下，由於偏度和/或過度峰度，正態性假設往往會被拒絕。當你適合一些 GARCH 時，後者可能會部分減輕，所以GARCH 模型中的正態條件創新假設在經驗上可能比對數收益正態分佈的假設錯誤更少。但在大多數情況下，後一種假設也只是現實世界複雜現象的代表。
關於您的第二個問題，也許您還應該考慮 CLT 的一般版本，不假設第二個和更高的時刻。在這些情況下，極限分佈可能是非正態的。他們將是 alpha 穩定類型，與你關於肥尾等問題有很深的聯繫。