布萊克學校
布萊克斯科爾斯歐洲看漲/看跌變異數公式
我有一個非常基本的問題，但我找不到它的參考。
回想一下，我們可以使用 Black-Scholes 公式對歐式看漲期權或看跌期權定價：
- 遵循幾何布朗運動的標的資產；
- 無風險利率被認為是恆定的；
- 標的資產收益的波動性是恆定的。
在推導這一點時，人們將看漲/看跌寫成對折現收益的預期，例如 $ C=E^Q[\exp^{-rT}(S_T-K)_+] $ 通話（ $ Q= $ 風險中性機率），其中 $ (S_t) $ 遵循幾何布朗運動。
我的問題是：括號中的差異是什麼？我要求看漲期權和看跌期權。
我只是勾勒出如何推導出公式。在您的設置中，我們有 $ S_T=s_0e^{\sigma W_T-\frac{1}{2}\sigma^2T} $ . 我們放的 Wlog $ s_0=1 $ . 因此 $ S_T $ 是對數正態分佈並且 $ S_T^2=e^{2\sigma W_T-\sigma^2T} $ ，這仍然是對數正態的。 $ Var(X)=E[X^2]-E[X]^2 $ . 我們只需要計算 $ E[X^2] $ . 讓 $ A:={S_T>K} $
$$ E[X^2]=E[(S_T-K)_+^2]=E[S_T^2\mathbf1_A]-2KE[S_T\mathbf1_A]+K^2Q[A] $$ 現在，您已經在 Black Scholes 的通常推導中計算了最後兩項。對於第一個，您使用與 for 相同的技術 $ E[S_T\mathbf1_A] $ 具有不同的對數正態分佈。