低點 ATM 期權的 Gamma
我正在嘗試計算一個普通呼叫的伽瑪，即點和罷工等於 0.001。BLACK & SCHOLES 公式給我的伽馬值是 554.761，這是一個非常高的值。然後我有兩個問題：Deos gamma 對應於 Delta 的變化與 1% 或 1 個單位的斑點變化相比？（實際上，1 個單位的點偏移與小點無關）如果變化為點的 1%，給出伽馬的 BS 公式是什麼？提前感謝您的回答。
Gamma 是 delta 對標的資產價格（以您的標的被指定的任何單位，通常是美元、英鎊、歐元……）的微小變化的敏感度。因此，這不是百分比變化。相反，百分比變化（期權彈性）等於 $ \Delta\frac{S}{V} $ . 例如，這個數量為您提供了期權的預期超額回報。
但是，在我看來，您好像在尋求 delta 的彈性？當標的資產價格變化 1% 時，delta 的百分比變化？這是由 $$ \begin{align*} \frac{\frac{\partial \Delta}{\Delta} }{\frac{\partial S}{S}} &= \frac{\partial \Delta }{\partial S}\frac{S}{\Delta} \ &= \Gamma\frac{S}{\Delta}. \end{align*} $$ 在布萊克-斯科爾斯案中， $ \Delta_c=e^{-qT}\Phi(d_1) $ 要麼 $ \Delta_p=-e^{-qT}\Phi(-d_1) $ 和 $ \Gamma=e^{-qT}\frac{\varphi(d_1)}{S\sigma\sqrt{T}}=Ke^{-rT}\frac{\varphi(d_2)}{S^2\sigma\sqrt{T}} $ ，這對於看跌期權和看漲期權顯然是相同的。這裡， $ \varphi $ 和 $ \Phi $ 是標準正態分佈隨機變數的 pdf 和 cdf。
如果您只對標的資產價格變化 1% 時 delta 的絕對變化感興趣，您將計算 $ \frac{\partial \Delta}{\frac{\partial S}{S}}=\Gamma S $ 這對於歐式看跌期權和看漲期權是相同的。同樣，給定標的資產（相應單位）的絕對變化時，delta 的百分比變化由下式給出 $ \frac{\frac{\partial\Delta}{\Delta}}{\partial S}=\frac{\Gamma}{\Delta} $ .
編輯
在回答斯萊德的重要問題時，讓我評論一下這個因素 $ \frac{1}{100} $ . 上面的方程忽略了單位，只看價格/增量的絕對/相對變化的比率……如果你將兩個百分比相除，你“失去”了百分比符號，應該再次除以 100。所以這個因素 $ \frac{1}{100} $ 只是產生一個介於 0.012 之間的數字，否則你會得到 1.2
$$ % $$您需要記住 % 的位置。所以數字是一樣的，這取決於個人喜好。 範例：布萊克斯科爾斯世界 $ S_\mathrm{old}=10 $ , $ K=10 $ , $ r=0.05 $ , $ T=\frac{1}{2} $ 和 $ \sigma=0.2 $ （沒有股息）。
然後， $ C_\mathrm{old}\approx 0.69 $ , $ \Delta_\mathrm{old}\approx0.60 $ 和 $ \Gamma_\mathrm{old}\approx0.27 $ .
現在考慮基礎資產價格的絕對變化 $ S_\mathrm{abs}=11 $ 這樣 $ C_\mathrm{abs}\approx1.41 $ , $ \Delta_\mathrm{abs}\approx 0.82 $ 和 $ \Gamma_\mathrm{abs}\approx0.17 $ .
同樣，我們考慮百分比變化 $ S_\mathrm{per}=10.1 $ 和 $ C_\mathrm{per}\approx0.75 $ , $ \Delta_\mathrm{per}\approx 0.62 $ 和 $ \Gamma_\mathrm{per}\approx 0.27 $ .
那麼，我們從這些數字中得到了什麼？
- 微不足道， $ S_\mathrm{abs}\approx C_\mathrm{old} + \Delta_\mathrm{old}=1.29 $ 甚至更好 $ S_\mathrm{abs}\approx C_\mathrm{old}+\Delta_\mathrm{old}+\frac{1}{2}\Gamma_\mathrm{old}=1.42 $ . 相似地， $ \Delta_\mathrm{abs}\approx \Delta_\mathrm{old}+\Gamma_\mathrm{old}=0.87 $ .
- 給定標的資產價格的百分比變化，期權價格的百分比變化是 $ \frac{C_\mathrm{per}}{C_\mathrm{old}}-1\approx0.089=8.9% $ . 期權彈性確實 $ \Delta_\mathrm{old}\frac{S_\mathrm{old}}{C_\mathrm{old}}=8.7 $ . 如您所見，此數字為您提供了相關的百分比數字。
- delta 也是如此： $ \frac{\Delta_\mathrm{per}}{\Delta_\mathrm{old}}-1=0.045=4.5% $ 這是由 $ \Gamma_\mathrm{old}\frac{S_\mathrm{old}}{\Delta_\mathrm{old}}\approx4.6 $ . 同樣，你得到百分比數字。
- 撇開彈性不談，百分比變化 $ \Delta $ 給定標的資產價格的絕對變化是 $ \frac{\Delta_\mathrm{per}}{\Delta_\mathrm{old}}-1=0.37 $ 我們期望的 $ \frac{\Gamma_\mathrm{old}}{\Delta_\mathrm{old}}\approx 0.46 $ .
- 絕對變化 $ \Delta $ 給定標的資產價格的百分比變化是 $ 0.027=2.7% $ 並且估計為 $ \Gamma_\mathrm{old}S_\mathrm{old}\approx2.74 $ . 所以再一次，我們需要記住單位。
因此，底線是您有四種可能性（abs|abs（這是 gamma）、abs|per、per|abs 和 per|per（彈性），其中 per|abs 表示在給定絕對變化的情況下 delta 的百分比變化標的資產價格等）。每當您計算（絕對或相對）給定百分比變化（即 abs|per 和 per|per）的變化時，您需要記住單位和因子 $ \frac{1}{100} $ . 無論如何，您的結果的大小應該表明您的結果是否是百分比。
交易者或從業者的伽瑪概念試圖捕捉同樣的問題。它被定義為 S 乘以 gamma 除以 100：
$ \Gamma_P=\frac{S, \Gamma}{100} $
請參閱本文件的第 29 頁：https ://mathfinance.com/wp-content/uploads/2017/06/FXOptionsStructuredProducts2e-Extract.pdf