如果隨機遊走可以產生任何價格歷史記錄，那麼當波動率變化時，BS 無風險對沖如何失效？

據推測，如果波動性是非恆定的，那麼 Black-Scholes 無風險對沖就會失效。然而，任何 sigma 的隨機遊走都可以產生具有非零機率的*任何價格歷史。*如果存在可以打破您的無風險對沖的價格歷史記錄，那麼您從一開始就沒有一個，因為具有恆定 sigma 的隨機遊走可能會產生該價格歷史記錄並破壞您的對沖。

您可能認為您可以查看價格歷史並得出結論，波動率在某一天發生了變化，但實際上，具有恆定 sigma 的隨機遊走總是有可能產生該價格歷史。如果對沖在持續波動的情況下是無風險的，那麼它在任何價格歷史記錄下都不會失敗，即使價格歷史記錄會導致投資者說波動性已經改變。

這種明顯矛盾的解決方法是什麼？

解決方案是 Black-Scholes 中假設的 GBM 是連續的，並且只有在連續重新平衡的情況下，對沖才無風險。現在，具有任何 vol 的 GBM 確實可以產生任何價格歷史記錄，但是如果您以離散間隔進行對沖，則採樣路徑歷史記錄及其觀察到的點對點波動率對於您的對沖表現變得非常重要。

特別想像一下，您在每天下午 4.30 對一個連續交易的 20% 交易量指數進行對沖，並且由於某些異常事件，每天下午 4.30 採樣的觀察到的路徑的觀察波動性為零（在每下午 4.30 點，基礎價格是相同的），那麼這就是您的對沖策略將經歷的交易量，這將與 20% 的基本交易量假設大不相同。

即使“連續採樣”路徑表現出假設的 20% 波動率，這也可能導致 P&L 偏離 0 的較大偏差。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/47212