Black-Scholes 模型價格是靜態無套利價格區間的雙射嗎
考慮一些觀察價格的股票 $ S $ 和價值股票的看漲期權 $ C $ , 成熟時間 $ T $ 並罷工 $ K $ . 假設有一個恆定的、連續複利的利率 $ r $ . 假設一切都被交易。眾所周知，為了避免靜態套利，我們必須有
$$ C \in (\max{S-Ke^{-rT},0},S). $$ 表示區間 $ I $ . 現在考慮 Black-Scholes 模型和函式 $ f:\sigma \mapsto C_{BS}(\sigma) $ 該函式將其波動性發送到其相應的模型價格中。該函式是單調的，因此它必須是滿射的。由於該模型是無套利的，因此必然是 $ f $ 包含在 $ I $ , 但它的圖像是否等於 $ I $ ? 對這種情況有什麼了解？ 我想這一定是一個研究過的問題，但我從未見過它被討論過。
這是。請注意，區間 I 在兩端都是開放的。而且，
$$ \begin{align*} C_{BS}(\sigma) = S\Phi(d_1)-Ke^{-rT}\Phi(d_2), \end{align*} $$ 在哪裡 $ \Phi $ 是標準正態隨機變數的累積分佈函式，並且 $$ \begin{align*} d_{1,2} = \frac{\ln\frac{S}{K e^{-rT}} \pm \frac{1}{2}\sigma^2T}{\sigma \sqrt{T}}. \end{align*} $$ 注意 $$ \begin{align*} \lim_{\sigma\rightarrow \infty} d_{1} = \infty, ,,,\mbox{ and },,, \lim_{\sigma\rightarrow \infty} d_{2} = -\infty. \end{align*} $$ 那是，$$ \lim_{\sigma\rightarrow \infty} C_{BS}(\sigma) = S. $$ 此外，請注意 $$ \begin{align*} \lim_{\sigma\rightarrow 0+} d_{1, 2} = \begin{cases} \infty, & \mbox{ if },, S>K e^{-rT},\ -\infty, & \mbox{ otherwise}. \end{cases} \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} \lim_{\sigma\rightarrow 0+} C_{BS}(\sigma) = \max\left(S-Ke^{-rT}, , 0\right). \end{align*} $$ 所以， $$ C_{BS}: (0, ,,, \infty) \mapsto \left(\max\left(S-Ke^{-rT}, , 0\right), ,,, S\right) $$ 是雙射（即，一對一和上）。