使用 Black-Scholes 的收益線性組合
將圖 3.8 中的收益寫成看漲期權的線性組合，並推導出 Black-Scholes 價格、Delta 和它們的 Gamma 的封閉式公式。期權的所有希臘字母也是這些看漲期權希臘字母的線性組合。例如，
$$ \Delta(t,S) = \Phi(d_1(\tau,K_1,S)) - \Phi(d_1(\tau,K_2,S)) - \Phi(d_1(\tau,K_3,S)) + \Phi(d_1(\tau,K_4,S)) $$
部分解決方案：對於扼殺，我們得到了回報
$$ (K - S_T){+} + (S_T - K){+} $$因此期權 BS 價格的封閉解是$$ V(\tau,S) = P(\tau,K,S) + C(\tau,K,S) $$並且位置的增量是$$ \Delta(\tau,S) = -\Phi(-d_1(\tau,K,S)) + \Phi(d_1(\tau,K,S)) $$最後我們這個位置的 gamma 是$$ \Gamma(\tau,S) = \frac{\Phi’(d_1(\tau,K,S)) + \Phi’(d_1(\tau,K,S))}{S\sigma \sqrt{\tau}} $$ 我想我的教授在 BS 封閉式價格方面犯了一個錯誤：奇怪的是
$$ V(\tau,S) = (-S_0\Phi(-d_1) + e^{-rT}K\Phi(-d_2)) + (S_0\Phi(d_1) - e^{-rT}K\Phi(d_2)) $$和跨式類似 在哪裡 $ \tau = T - t $ 不知道為什麼我們使用 $ \tau $ 對此的任何解釋都會很棒。
為了以數學形式表達這種收益，最好使用指標函式。我假設圖的底部（即左側的頂點和右側的底部段）表示零。
對於左手，收益由下式給出
$$ \begin{align*} (K-S_T)\pmb{1}{S_T \le K} + (S_T-K)\pmb{1}{S_T \ge K} = (K-S_T)^+ + (S_T-K)^+, \end{align*} $$ 也就是說，一個包含歐式看漲期權和看跌期權的跨式期權具有相同的執行價格和到期日。 對於右手，收益由下式給出
$$ \begin{align*} (K_1-S_T)\pmb{1}{S_T \le K_1} + (S_T-K_2)\pmb{1}{S_T \ge K_2} = (K_1-S_T)^+ + (S_T-K_2)^+,\tag{1} \end{align*} $$ 也就是說，涉及到期日相同但執行價不同的歐式看漲期權和看跌期權的扼殺。 對於估值，例如，讓我們考慮（1）。根據 Black-Scholes 公式，Payoff (1) 的值由下式給出
$$ \begin{align*} V=\Big[K_1 e^{-rT} \Phi(-d_2^1) - S_0 \Phi(-d_1^1)\Big] + \Big[S_0 \Phi(d_1^2) - K_2 e^{-rT} \Phi(d_2^2)\Big], \end{align*} $$ 其中第一項是看跌期權收益的價值 $ (K_1-S_T)^+ $ 第二個是看漲期權收益的價值 $ (S_T-K_2)^+ $ . 這裡， $$ \begin{align*} d_1^1 &= \frac{\ln \frac{S_0}{K_1} + (r+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}},\ d_2^1 &= d_1^1 - \sigma \sqrt{T},\ d_1^2 &= \frac{\ln \frac{S_0}{K_2} + (r+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}},\ d_2^2 &= d_1^2 - \sigma \sqrt{T}.\ \end{align*} $$ delta對沖比率是第一個看跌期權和第二個看漲期權的delta之和，即 $$ \begin{align*} \frac{\partial V}{\partial S_0} &= -\Phi(-d_1^1) + \Phi(d_1^2)\ &=\Phi(d_1^1) + \Phi(d_1^2) - 1, \end{align*} $$ gamma 對沖比率是第一個看跌期權和第二個看漲期權的 gamma 之和，即 $$ \begin{align*} \frac{\partial^2 V}{\partial S_0^2} &= \frac{\Phi’(d_1^1)}{S_0\sigma \sqrt{T}}+ \frac{\Phi’(d_1^2)}{S_0\sigma \sqrt{T}}\ &=\frac{\Phi’(d_1^1) + \Phi’(d_1^2)}{S_0\sigma \sqrt{T}}. \end{align*} $$