Black-Scholes 定價與股息
考慮回報 $ g(S_T) $ 如下圖所示。考慮風險資產價格的 Black-Scholes 模型 $ T = 1 $ , $ r = .04 $ ， 和 $ \sigma = .02 $ 股息按季度支付，股息收益率 $ 10% $ . 拿 $ S_0 = 10 $ , $ K_1 = 9 $ ， 和 $ K_2 = 11 $ . 找到 Black-Scholes 價格， $ \Delta $ , $ \Gamma $ , $ \rho $ ， 和 $ \mathcal{V} $ 這個選項的時間 $ t = 0 $ . 尋找 $ \Theta $ 有時 $ t = 0 $ 不考慮衍生品 $ S $ .
解決方案：回報是，
$$ g(S_t) = (S_t - K_1){+} - 2(S_t - \frac{(K_1 + K_2)}{2}){+} + (S_t - K_2){+} $$ 帶有股息的布萊克-斯科爾斯公式給出$$ \begin{align*} V(t = 0,S) &= e^{-r\tau}\hat{\mathbb{E}}[g(\tilde{d}S_T)]\ &= \tilde{d}\left(BS{call}(\frac{K_1}{\tilde{d}}) - 2BS_{call}(\frac{K_1+K_2}{2\tilde{d}}) + BS_{call}(\frac{K_2}{\tilde{d}})\right) \end{align*} $$ 在哪裡$$ \tilde{d} = \left(1 - \frac{d}{4} \right)^{4} = .9037 $$ 所以，$$ V(t = 0,S) = e^{-r\tau}\hat{\mathbb{E}}[g(\tilde{d}S_T)] = (.9037)((0) - 2(0) + (0)) \approx 0 $$ 對於希臘人，我們有$$ \Delta = \partial_S V(t = 0,S) = \tilde{d}\left[\Phi(d_1(\frac{K_1}{\tilde{d}})) + \Phi(d_1(\frac{K_1+K_2}{2\tilde{d}})) + N(d_1(\frac{K_2}{\tilde{d}})) \right] \approx 0 $$ $$ \Gamma = \partial_{SS}V(t = 0, S) = 0 $$ $$ \rho = \partial_r V(t = 0,S) = \left( e^{-rt}(\frac{K_1}{\tilde{d}})(t)\Phi(d_2) + e^{-rt}(\frac{K_1+K_2}{2\tilde{d}})(t)\Phi(d_2) + e^{-rt}(\frac{K_2}{\tilde{d}})(t)\Phi(d_2)\right) \approx 0 $$ $$ \mathcal{V} = (S\sqrt{t}\Phi(d_1) + S\sqrt{t}\Phi(d_1) + S\sqrt{t}\Phi(d_1)) \approx 0 $$
在您的回答中，您不包括股息。我很抱歉說這是錯誤的。
支付函式是
$$ g(S_T) = (S_T - K_1)+ - 2(S_T - \frac{K_1+K_2}{2})+ + (S_T - K_2)_+ $$ BS 定價公式與股息給出
$$ V(t=0,S) = e^{-r}E(g(\tilde{d}S_T)) = \tilde{d} \left(BS_{call}\left(\frac{K_1}{\tilde{d}}\right) - 2BS_{call}\left(\frac{K_1+K_2}{2 \tilde{d}}\right) + BS_{call}\left(\frac{K_2}{\tilde{d}}\right)\right) $$ 在哪裡
$$ \tilde{d} = (1-\frac{d}{4})^4 = 0.9037 $$ 在你的問題中插入所有數字，我得到 0.3905（自己仔細檢查）。 至於希臘人，
$$ \Delta = \frac{\partial V(t=0,S)}{\partial S} = \tilde{d} \left[ N(d_1(K_1/\tilde{d})) - 2N(d_1((K_1+K_2)/(2\tilde{d}))) + N(d_1(K_2/\tilde{d})) \right] $$ 在哪裡 $ N $ 是正常的 cdf 和 $ d_1(K)=\frac{log(S/K)+(r+\frac{1}{2}\sigma)\tau}{sigma\sqrt{\tau}} $ . 剩下的問題很簡單，因為所有的希臘人都只是原始 BS 希臘人的線性組合。您只需要更改原始 BS 希臘語中的執行價格（我猜？）。我不會在這裡進行所有的計算。
讓我知道是否有任何不清楚的地方。