Black-Scholes 模型中的收益率

股票的收益率被表示為 $ \frac{dS}{S dt} $ 在哪裡 $ S $ 是 SDE 對股票價格建模的解。有人可以解釋收益率以及在這種情況下它應該代表什麼。

在離散時間內，（年化）對數回報定義為 $ \frac{\Delta \ln(S)}{\Delta t}=\frac{\ln(S_{t+\Delta t})-\ln(S_t)}{\Delta t} $

在連續時間內，這變成 $ \frac{d \ln(S)}{d t}=\frac{1}{S}\frac{d S}{d t} $

注意 $ \frac{d S}{dt} $ 是價格的瞬時變化率，除以 $ S $ 將其轉化為價格的百分比變化。這就是我們通常以百分比形式評估股票價格變化的方式。

BS 模型的一個基本前提是股票價格按照韋納過程移動。此外，當股價中有許多小的隨機運動時，它所追踪的軌跡可以假設為幾何布朗運動。

然後這個過程被象徵性地定義為（見伊藤引理）

$$ dS = \mu S dt + \sigma dz $$

在哪裡

1. $ \mu $ 是常數，表示以年率報告的份額回報
2. $ \sigma $ 是恆定的，代表股票的波動率，也以年率報告
3. $ dt $ 是無限的時間流逝
4. $ dz $ 表示對股價變動產生隨機性的術語， $ S $ .

在這個過程中，如果沒有隨機性， $ dz=0 $ ， 因此 $$ \begin{align} dS &= \mu S dt \ \implies \frac{dS}{S dt} &= \mu \end{align} $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/48857