顯示在=∑n我=1H一世（噸）小號一世（噸）在=∑一世=1nH一世(噸)小號一世(噸)V=sum_{i=1}^n h_i(t)S_i(t)滿足 Black-Scholes 方程
我正在做以下練習。
考慮標準 Black-Scholes 模型，以及 n 個不同的帶有合約函式的簡單或有債權 $ \phi_1,\dots, \phi_n $ . 讓
$$ V=\sum_{i=1}^n h_i(t) S_i (t) $$ 表示自籌資金的馬爾可夫投資組合的價值過程。證明 V 滿足 Blach Scholes 方程。
自從第一次 $ h_i $ 是馬爾可夫， $ V $ 將是形式 $ V(t, S(t)) $ . 方程是
$$ \frac{\partial V}{\partial t} + \frac12 \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rs \frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0 $$ 我的想法是計算所有的偏導數，並將它們插入。我得到了
$ \partial V_t = \sum dS_i (S_i \partial h’_{i,t} + h_i) $
$ \partial V_s = \sum \partial h_{i,s} S_i + h_i dS_i $
$ \partial V_{ss} = \sum \partial h_{i,ss} S_i 2h’_s dS_i + h_i d^2S_i $
從這裡感覺就像我做錯了什麼。
這來自 Björk 的“連續時間套利理論”的第 8 章，題為“完整性和對沖”。鞅方法和多維模型僅在後面的章節中介紹（分別為 10 和 13）。所以我會寫一個答案，它不依賴於這些概念中的任何一個，而是依賴於完整標記中的**動態套期保值的概念，正如本章標題所暗示的那樣。
完全推導
該練習表明我們正在“標準 Black-Scholes ”框架中工作，即使用其現貨價格的風險資產 $ S_t $ 跟隨具有波動性的 GBM $ \sigma $ 和一個無風險的貨幣市場賬戶。當時的價值 $ t $ 將表示投資於後一個賬戶的 1 單位貨幣 $ B_t $ 和無風險利率 $ r $ . 我們假設 $ S $ 不支付股息，因此投資於 $ S $ 是一種自籌資金的策略。
我們讓 $ (S_i(t)){i=1}^N $ 表示 $ t $ -值 $ N $ 視資產而定的債權 $ S $ 並支付款項 $ (\phi_i(.)){i=1}^N $ 成熟時 $ T $ . 然後我們也讓
$$ V_t = \sum_{i=1}^N h_i(t) S_i(t) \tag{0} $$ 表示 $ t $ - 由加權和組成的投資組合的價值 $ N $ 前面定義的或有債權。 $ (V_t)_{t \geq 0} $ 假設是一個馬爾可夫過程，所以我們可以寫 $ V_t = \color{red}{V}(t,S_t) $ . 然後，根據伊藤引理，可以得出：
$$ dV_t = \frac{\partial \color{red}{V}}{\partial t} + \frac{\partial \color{red}{V}}{\partial S} dS_t + \frac{\partial^2 \color{red}{V}}{\partial S^2} d \langle S \rangle_t \tag{A} $$ 我們暫時不會使用這個假設。我們只是記住它以備後用。 $ (V_t)_{t \geq 0} $ 也被假定為代表一個自籌資金的財富過程的價值。根據自籌資金財產的定義，並將伊藤引理應用於個別或有債權的價格，這給我們留下了
$$ \begin{align} dV_t &= \sum_{i=1}^N h_i(t) dS_i(t) \ &= \sum_{i=1}^N h_i(t) \left( \frac{\partial S_i}{\partial t} dt + \frac{\partial S_i}{\partial S} dS_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 S_i}{\partial S} d\langle S \rangle_t \right) \tag{B} \end{align} $$ 考慮自籌資金對沖投資組合 $ \Pi $ 和 $ t $ -價值
$$ \Pi_t = V_t - \alpha(t) S_t $$ 同樣，根據自籌資金財產的定義並使用我們以前的身份 $$ \begin{align} d\Pi_t &= dV_t - \alpha(t) dS_t \tag{1} \ &= \sum_{i=1}^N h_i(t) \left( \frac{\partial S_i}{\partial t} dt + \frac{\partial S_i}{\partial S} dS_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 S_i}{\partial S} d\langle S \rangle_t \right) - \alpha(t) dS_t \tag{2} \end{align} $$ 從上面我們可以看出，通過挑選來建構我們的動態對沖
$$ \alpha^(t) = \sum_{i=1}^N h_i(t) \frac{\partial S_i}{\partial S} \tag{3} $$ 使對沖投資組合的損益具有確定性或 delta 中性，因此在限制範圍內 $ dt \to 0 $ ，損益幾乎肯定為零（完美對沖）。 對於這個特殊的選擇 $ \alpha^(t) $ ，因此在沒有套利機會的情況下，套期保值組合應獲得無風險利率：
$$ d(\Pi_t(\alpha^)) = r \Pi_t(\alpha^) dt $$ 建立在 $ (1) $ 和 $ (2) $ 和 $ (3) $ （以及我們的 GBM 工作假設 $ S $ 對於二次變分項）
$$ \sum_{i=1}^N h_i(t) \left( \frac{\partial S_i}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 S_i}{\partial S} \sigma^2 S^2 \right) dt = r \left(V_t - \sum_{i=1}^N h_i(t) \frac{\partial{S_i}}{\partial{S}} S_t \right) dt $$ 因此最後我們看到期權價格 $ V_t $ 應驗證定價 PDE
$$ \sum_{i=1}^N h_i(t) \left( \frac{\partial S_i}{\partial t} + r S \frac{\partial S_i}{\partial S} + \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 S_i}{\partial S^2}\right) - rV_t = 0 \tag{4} $$ $$ V_T = \sum_{i=1}^N h_i(T) \phi_i(S) $$ 記住我們可以寫 $ V_t = \color{red}{V}(t,S) $ 從馬爾可夫性質和辨識2個伊藤微分的係數 $ (A) $ 和 $ (B) $ ，我們可以將上面的 PDE 重寫為
$$ \frac{\partial \color{red}{V}}{\partial t}(t,S) + r S \frac{\partial \color{red}{V}}{\partial S}(t,S) + \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 \color{red}{V}}{\partial S^2}(t,S) - r\color{red}{V}(t,S) = 0 \tag{5} $$ $$ \color{red}{V}(T,S) = \sum_{i=1}^N h_i(T) \phi_i(S) $$ 這確實是 Black-Scholes PDE $ \color{red}{V}(t,S) $ .
另類推導
讓我們按照您在原始文章中建議的方式來解決問題：
$$ \frac{\partial V}{\partial t}(t,S) + r S \frac{V}{\partial S}(t,S) + \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(t,S) - rV(t,S) \stackrel{?}{=} 0 \tag{5} $$ 我們知道 $ (V_t) $ 是馬爾可夫，所以我們可以寫
$$ V_t = V(t,S) = \sum_{i=1}^N h_i(t) S_i(t,S) $$ 在哪裡 $ S_i(t,S) $ 是公平的價格 $ N $ 或有債權，即用涉及支付函式的終端條件驗證單個 Black-Scholes PDE 的函式 $ \phi_i(.) $ . 然後從標準微積分得出導數：
$$ \frac{\partial V}{\partial t}(t,S) = \sum_{i=1}^N \frac{\partial h_i}{\partial t}(t) S_i(t,S) + \sum_{i=1}^N h_i(t) \frac{\partial{S_i}}{\partial t}(t,S) $$ $$ \frac{\partial V}{\partial S}(t,S) = \sum_{i=1}^N h_i(t) \frac{\partial{S_i}}{\partial S}(t,S) $$ $$ \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(t,S) = \sum_{i=1}^N h_i(t) \frac{\partial^2{S_i}}{\partial S^2}(t,S) $$ 現在這裡的關鍵是要注意時間導數可以簡化。多虧了自籌資金的財產， $ h_i’(t) $ 術語消失（見兩個身份 $ (A) $ 和 $ (B) $ 上面，或者這個問題在一般情況下 $ h_i $ 也取決於 $ S $ 此外 $ t $ ) 將這些衍生品重新插入定價 PDE 中 $ V $ ，連同定義 $ V $ 作為總和 $ N $ 或有索賠，我們確實得到了
$$ \sum_{i=1}^N h_i(t) \left( \frac{\partial S_i}{\partial t}(t,S) + r S \frac{S_i}{\partial S}(t,S) + \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 S_i}{\partial S^2}(t,S) - rS_i(t,S) \right) = 0 $$ 由於函式 $ S_i(t,S) $ 驗證 $ N $ 個別 Black-Scholes 定價 PDE。