三項式模型弱收斂到 Black-Scholes
考慮風險中性三項式模型 $ N $ 提出的時期
$$ S_{(k+1)\delta}H_{k+1}, \ \ \text{for} \ \ k=0,\ldots,N-1 $$ 在哪裡 $ \delta:=\frac{T}{N} $ 和 $ {H_k}_{1}^{N} $ 是具有分佈的 iid 隨機變數序列 $$ H_k = \begin{cases} e^{\delta(r-\sigma^2/2)+\sqrt{3\delta}\sigma} \ &\text{with probability} \ \hat{\pi} = \frac{1}{6}\ e^{\delta(r-\sigma^2/2)} \ &\text{with probability} \ 1 - \hat{\pi} = \frac{2}{3}\ e^{\delta(r-\sigma^2/2)-\sqrt{3\delta}\sigma} \ &\text{with probability} \ \hat{\pi} = \frac{1}{6}\ \end{cases} $$ 和 $ \hat{\pi} $ < 1/2。顯示為 $ \delta\rightarrow 0 $ ，這個三項式模型收斂到弱意義上的 Black-Scholes 模型。提示：查找 $ Z_k $ 這樣 $ \ln(H_k) = (r - \sigma^2/2)\delta + \sigma\sqrt{\delta}Z_k $ . 然後顯示 (3.6)
(3.6) 指出，如果 $ \hat{\mathbb{E}}[Z_1] = o(\delta) $ 和 $ \hat{\mathbb{E}}[Z_1^2] = 1 + o(1) $ ， 然後 $ \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k=1}^{N}Z_k $ 弱收斂到 $ \mathcal{N}(0,1) $ .
嘗試的解決方案：讓 $ {Z_k}_{1}^{N} $ 是具有以下分佈的 iid 隨機變數序列
$$ Z_k = \begin{cases} \alpha \ &\text{with probability} \ \hat{\pi}\ -\beta \ &\text{with probability} \ 1-\hat{\pi} \end{cases} $$ 這樣 $ \ln(H_k) = (r - \sigma^2/2)\delta + \sigma\sqrt{\delta}Z_k $ . 我不太確定從這裡做什麼，非常感謝任何建議。
我認為你混淆了邊際法則和過程法則。
您的 $ Z_k $ 必須有三個值，你只需要寫出的值 $ \ln(H_k) $ 對於每個可能的值
讓 $ X $ 取值 $ (x_1,x_2,…,x_n) $ 和 $ p_i=P(X=X_i) $ ， 然後 $ P(f(X)=f(x_i))=\sum_{j=1}^n p_j\mathbf{1}_{f(x_j)=f(x_i)} $
如果 $ f $ 是一對一的映射，你得到 $ f(x_j)=f(x_i)\Rightarrow i=j $ 和 $ P(f(X)=f(x_i))=p_i $ .