難以達到布萊克-斯科爾斯公式
為了我自己的理解，我試圖得出 Black-Scholes 公式。我可以接受可以使用無風險分佈和費率，因此我試圖使用分佈而不是 PDE 來得出結果。這是我所擁有的：
$$ \lim\limits_{b \to \infty}\int_a^b pdf(s)(s-K)ds $$ 由於初始價格為 $ S_0 $ 我把它彈出來了 $ s $ .
$$ \lim\limits_{b \to \infty}\int_a^b pdf(sS_0)(sS_0-K)ds $$ 在哪裡 $ a = K / S_0 $ .
由於 BS 公式選擇對數法線，因此我將其用於 pdf：
$$ \lim\limits_{b \to \infty}\int_a^b \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}* e^{\dfrac{-(ln(sS_0)-\mu)^2}{2\sigma^2}} - \int_a^b\dfrac{K}{S_0s\sigma\sqrt{2\pi}} * e^{\dfrac{-(ln(sS_0)-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$ 我想我到這裡還可以，但我可能會離開我放我的地方 $ S_0 $ 的…無論如何，第一個積分看起來很可怕，但我在這裡找到了一些幫助：https ://stats.stackexchange.com/questions/9501/is-it-possible-to-analytically-integrate-x-multiplied-by- the-lognormal-probabi所以我很確定我們最終會得到這樣的結果（對於第一個積分）：
$$ e^{\mu+\frac{1}{2}\sigma}(\Phi(\beta)-\Phi(\alpha)) $$ 在哪裡 $ \beta = (ln(b) - \mu-\sigma^2)/\sigma $ 和 $ \alpha = (ln(K/S_0) - \mu-\sigma^2)/\sigma $
我可能應該在這裡提一下，我一直在懶惰地精神替代 $ \sigma\sqrt{t} $ 任何時候我看到 $ \sigma $ .
自從 $ b $ 要去 $ \infty $ , $ \Phi(\beta) $ 要去 $ 1 $ . 此時我們也應該嘗試擺脫 $ \mu $ . 自從 $ S_0e^{rt} $ 是我們可以設置的預期遠期價格，等於 $ e^{\mu+\sigma^2/2} $ 並得到：
$$ \mu = ln(S_0) + rt - \sigma^2/2 $$ 至於第二個積分，我們將得到兩個對數正態 CDF（我認為）時間的差異 $ K $ . 第一個將再次是 $ 1 $ 自從 $ b $ 要去 $ \infty $ ，所以我們得到 $ K(1-LNCDF(a)) $ .
我的結果是這樣 $ S_0e^{rt}(1-\Phi(a)) - K(1-LNCDF(a)) $ 這看起來不太熟悉，所以我想知道我做錯了什麼。謝謝！
這裡有幾個指針可以讓你回到正確的道路上（所以我希望如此）：
- 從支付函式開始，因此 $ S(T) $ ，其中包括 $ (W(T)-W(t)) $ , $ W $ 是風險中性測度下的布朗運動）
- 您可以通過使用標準正態隨機變數來大大簡化：
$$ Y = \frac{-(W(T)-W(t))}{\sqrt{T-t}} $$, 這有助於擺脫指示函式並導出 d+ 和 d-,
- 您需要更改變數以將部分結果表示為 cdf 的函式。
您可以在 Steven Shreve, Stochastic Calculus for Finance II , 2004 edition, pp.218中找到完整的推導