哪個值用作 Black-Scholes 對數正態分佈的形狀參數？

使用 Scipy 時，對數分佈由 3 個參數定義：中位數 (loc)、尺度（標準差，或者在我們的例子中為隱含波動率）和形狀參數。

但是，哪個是 Black-Scholes 用來確定期權價格的形狀參數？

這是一個很好的問題，我也被困住了。

認為 $ X $ 是對數正態定義為 $ X\sim \log \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) $ . 有了這個符號，我們的意思是，如果我們寫 $ X = e^Z $ ， 然後 $ Z $ 服從均值的正態分佈 $ \mu $ 和變異數 $ \sigma^2 $ .

的均值和變異數 $ X $ 然後是 $ \mu_X = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} $ 和 $ \sigma_X^2 = (e^{\sigma^2} - 1)e^{2\mu + \sigma^2} $ .

對於許多分佈，位置和尺度參數只是標準均值和變異數。這不是對數正態分佈的情況。您可以在其他地方查找詳細資訊（一切都遵循 PDF 的定義），但歸根結底是（另見此處）：

• 對數正態的形狀參數等於正態的尺度參數（標準差 $ Z $ : $ \sigma_Z $ )
• 對數正態的尺度參數等於正態的指數位置參數 ( $ e^{\mu_Z} $ )
• 對數正態的位置參數在正態分佈側沒有對應參數。具有非零位置參數的對數正態分佈不能寫為正態分佈的指數。該分佈的下限為零，並且對於非零位置參數，該下限向左或向右移動。

TLDR：關於 python。這是從對數正態分佈中採樣的兩種方法 $ \mu_Z = 5 $ 和 $ \sigma_Z=.2 $ ，其中之一顯示了您如何實例化lognorm該類。

from scipy.stats import lognorm, norm
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

mu = 5.
stdev = .2


Z = norm(loc=mu, scale=stdev)
X = lognorm(s=stdev, scale=np.exp(mu))
plt.hist(np.exp(Z.rvs(10000)), bins=100)
plt.hist(X.rvs(10000), bins=100)

請注意，loc預設為零 $ X $ .

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/24776