為什麼可以假設未來遠期利率在標準市場模型中呈對數正態分佈？
這似乎是允許我們使用標準市場模型/布萊克框架來評估利率衍生品的基本假設，但我還沒有找到任何可以理解的解釋來解釋為什麼這是一個可以做出的假設。利率本身不遵循幾何布朗運動，我認為這是對數正態分佈所暗示的？那麼為什麼要遠期利率呢？
簡短的故事：遠期 Libor 利率不需要假設為對數正態分佈。例如，可以假設它們是正態分佈的（實際上，在彭博社上，在正態模型和對數正態模型方面都引用了 Swaption 隱含的 vols）。
唯一需要的條件是遠期 Libor 利率過程需要是 T-forward 度量下的鞅（我在下面展示）。只要選擇的建模過程滿足臨界條件，這個過程的分佈（理論上）可以是我們想要的任何東西。
長篇故事：
第 1 部分：符號：
表示某個時間的遠期 Libor 利率 $ t $ , 在時間設置 $ T_i $ 並在時間成熟 $ T_{i+1} $ ， 作為 $ L(t, T_i, T_{i+1}) $ （請注意，只討論這個隨機變數是有意義的 $ t\leq T_i < T_{i+1} $ ）。該 Libor 複合的年度分數是 $ \tau $ .
為了使符號清晰，一些範例：
$ (i) L(t_0,t_0,T_1) $ 將是在未來某個時間到期的即期 Libor 利率 $ T_1 $ （我們可以假設 $ T_1=t_0+\tau $ )
$ (ii) L(t_0,T_1,T_2) $ 將是當時設定的遠期 Libor 利率的今天值 $ T_1 $ 並在時間成熟 $ T_2 $ （即這將是該 libor 的今天的 FRA）
$ (iii) L(t,T_1,T_2) $ 將是某個時間的未來值“ $ t $ " 與 (ii) 中相同的遠期 Libor：即，這將是一個隨機變數，其值今天未知。
第 2 部分：Libor 利率機制：
假設你可以以這些 Libor 利率自由借貸：也就是說你可以同意今天的時間” $ t_0 $ “借入或借出任何金額” $ x $ ” 時 $ T_i $ 然後你必須償還（或者你會收到）一筆款項 $ x*(1+\tau L(t_0, T_i, T_{i+1})) $ 有時 $ T_{i+1} $ .
假設您可以為金額執行此操作 $ x=\frac{1}{1+\tau L(t_0, T_i, T_{i+1})} $ . 那麼，一時 $ T_{i+1} $ ，您必須償還（或收到）正好 1 個單位的貨幣：換句話說，您可以有效地交易（遠期）在某個特定期限支付 1 個單位的貨幣的零息債券。假設您可以隨時執行此操作，而不僅僅是今天在“ $ t_0 $ “，但在任何時候” $ t $ ”。
假設當時“ $ t $ “您想交易一些（現貨）各種期限的零息債券。表示在某個時間到期的零息債券 $ T_i $ 作為 $ P(t,T_i):=\frac{1}{1+\tau L(t, t, T_i)} $ . 表示另一種按時到期的零息債券 $ T_{i+1} $ 作為 $ P(t,T_{i+1}):=\frac{1}{1+\tau L(t, t, T_{i+1})} $ . 注意：
$$ \frac{P(t,T_i)}{P(t,T_{i+1})}=1+\tau L(t, T_i, T_{i+1}) $$
即上面說我們可以將遠期Libor 利率表示為兩個即期零息債券的比率（這些債券，當然，我們是根據當時的即期Libor 利率建構的 $ t $ ：所以基本上，我們是說我們可以從*即期Libor 利率建構遠期*Libor利率：沒什麼大不了的，真的）。**
第 3 部分：鞅條件
將上述方程重新排列為：
$$ \frac{P(t,T_i)}{P(t,T_{i+1})}-1=\tau L(t, T_i, T_{i+1}) $$
$$ \frac{P(t,T_i)-P(t,T_{i+1})}{P(t,T_{i+1})}=\tau L(t, T_i, T_{i+1}) $$
$$ \left(P(t,T_i)-P(t,T_{i+1})\right)\frac{1}{\tau}=P(t,T_{i+1}) L(t, T_i, T_{i+1}) $$
現在，上面的 LHS 是交易證券和流動證券的線性組合（根據我們的假設）：因此，根據資產定價基本定理，LHS 必須是合適的計價下的鞅。選擇 $ P(t,T_{i+1}) $ 作為 Numeraire，我們得到：
$$ \mathbb{E}\left[\frac{\left(P(t,T_i)-P(t,T_{i+1})\right)\frac{1}{\tau}}{P(t,T_{i+1})} | \mathcal{F}{t_0}\right]=\frac{\left(P(t_0,T_i)-P(t_0,T{i+1})\right)\frac{1}{\tau}}{P(t_0,T_{i+1})} $$
但$$ \left(P(t,T_i)-P(t,T_{i+1})\right)\frac{1}{\tau}=P(t,T_{i+1}) L(t, T_i, T_{i+1}) $$
所以我們得到：
$$ \mathbb{E}\left[\frac{P(t,T_{i+1}) L(t, T_i, T_{i+1})}{P(t,T_{i+1})} | \mathcal{F}{t_0}\right]=\mathbb{E}\left[L(t, T_i, T{i+1})| \mathcal{F}{t_0}\right]=L(t_0, T_i, T{i+1}) $$
因此，根據 $ T_{i+1} $ 與債券相關的遠期計量 $ P(t,T_{i+1}) $ 作為計價標準，遠期Libor $ L(t, T_i, T_{i+1}) $ 必須是鞅。
第 4 部分：對數正態性或正態性？？？
上面的鞅條件並沒有告訴我們任何關於遠期 Libor 分佈的資訊，除了我們選擇的任何過程，它必須是遠期測度下的鞅。事實上，由於許多利率處於負值區域，正態模型和對數正態模型已經變得可以接受。在 Bloomberg 上，Swaptions 隱含 vols 以正態和對數正態模型的形式引用。