為什麼深度價內期權的價格會隨著 Black Scholes 框架的波動而上漲？

我可以理解，當股票出市/價外時，波動性會增加期權的價值。然後，更大的波動性意味著股票的分配獲得更大的上漲空間，而不會出現更大的虧損機率。

但是想像一下，一隻股票的錢很遠。如果我有一個波動性較低的分佈，因此以貨幣收盤的機會更大，如果我厭惡風險，我可能更喜歡具有更多上行但也有更多下行的期權。使用相同的思維過程，如果我是風險中立的，我可能對每個人都漠不關心，因此它們對我可能具有相同的價值。

這是否意味著波動性的增加不成比例地增加了期權的上行空間，而不是相對於貨幣結束機率的增加？有沒有直覺的解釋或方法來以數學方式顯示這種效果？

首先請注意，對於價外期權和價內期權，價格對隱含波動率的敏感度必須是質量對稱的，因為通過看跌期權平價，ITM 看漲期權的行為與 OTM 看跌期權相同。

其次，對於遠離平值的期權（無論是深度 ITM 還是深度 OTM），價格不會隨著波動而特別增加！您可以通過針對貨幣性繪製期權的 vega（價格與隱含波動率的導數）來查看這一點，其中貨幣性是根據遠期價格定義的 $ F $ ， 罷工 $ K $ , 隱含波動率 $ \sigma $ 和到期時間 $ \tau $

$$ m= \frac{\log(K/F)}{\sigma \sqrt{\tau}} $$

將 vega 與金錢作圖會給出這樣的圖表

對於深度 ITM 或 OTM 選項，您可以看到這一點（例如 $ |m| > 3 $ ) vega 實際上為零，因此期權的價格不會隨著隱含波動率的增加而大幅上漲。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/61150