作為一名入門級金融工程師，我正在研究 Black Scholes 方程，如下所示：

$$ {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0 $$

但是改變變數的實際原因是什麼，例如： $ y = lnS $ , $ \frac{\partial V}{\partial S}=\frac{\partial V}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial S}=\frac{1}{S}\frac{\partial V}{\partial y} $ 和 $ \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}=\frac{\partial }{\partial S}(\frac{\partial V}{\partial S})=\frac{\partial }{\partial S}(\frac{1}{S}\frac{\partial V}{\partial y})=-\frac{1}{S^2}\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{1}{S}\frac{\partial }{\partial S}(\frac{\partial V}{\partial y})=-\frac{1}{S^2}\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{1}{S^2}\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} $

為了讓生活更輕鬆

改變變數的實際原因是什麼？

簡而言之，因為如果我們天真地試圖找到 Black-Scholes 方程的解析解，那麼它會非常混亂，如果可能的話。只有勇敢的、缺乏經驗的或過於自信的人才會嘗試求解 PDE 而不會嘗試簡化它。數學的好處之一，尤其是科學/金融方面的好處是，如果它們是“有機推導出來的”，你通常會發現只有少數微分方程通常會彈出。（當然有很多討厭的偶爾會出現）。值得慶幸的是，其中大部分問題在一兩個世紀前就已解決，因此，如果我們可以將問題轉化為標準的已知形式，那麼我們就可以在巨人的肩膀上進行分析/數字/漸近。

變數變化的動機

當面對解析（和數值）求解 PDE 時，我通常會嘗試幾種方法。我的典型偏好順序如下：

1. Ansatz（希望我已經可能知道答案）。
2. 根據經驗更改變數以將 PDE 修改為更好的形式，理想情況下是已經眾所周知的形式。
3. 謹慎執行一些數值模擬以嘗試獲得一些洞察力。
4. 我可以轉換 PDE，例如周期性解決方案建議進行傅立葉變換。其他可能是勒讓德、拉普拉斯等。
5. 嘗試分離變數並簡化為 ODE 系統。
6. 尋找格林的函式。
7. 神奇地認出 Feynman-Kac 並使用它。
8. 知道一些有利的基礎，並嘗試使用該基礎的級數解決方案，例如多項式。
9. …

因此，讓我們在 Black-Scholes 方程上嘗試其中的一些。

下面的大部分推導都是從這個問題的答案中得出的：Transformation from the Black-Scholes different equation to the diffusion equation - and back

基於上述，我們可以看到改變變數將是首先嘗試的事情之一。現在的問題是：在我可以嘗試的無數可能的變數變化中，我應該嘗試哪一個？有時有一些明顯的選擇，有時沒有，當然，如果您已經從系統中派生了 PDE，那麼您已經有了一些可以利用的洞察力。因此，對於 Black-Scholes 方程，我們有：

$$ \frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}+ rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV=0 $$

現在在我們的推導中給出，如果我們遵循與 Black-Scholes 相同的推理路線，那麼我們假設 $ S $ 遵循幾何布朗運動，因此是對數正態的。如果我們採用一個簡單的合約，其價值是股票也是對數正態的，這將暗示某種指數過程。同樣，我們可能希望期權的價值是一個正過程，再次暗示一個正函式，可能是指數函式。最後，我們可能會注意到每個 $ \tfrac{\partial}{\partial S} $ 有對應的 $ S $ 學期。雖然這是維度工作所必需的，但它也可能表明，每次我們區分時，我們都會得到相同的東西加上一個 $ S $ 學期。這聽起來讓人想起指數函式。話雖如此，並不能保證插入指數過程會使生活變得更輕鬆，但是如果沒有事後諸葛亮的天賦，這聽起來並不是一個壞主意，並且將是首先嘗試的事情之一。

接上最後一個觀察，在我們開始之前要注意的第二件事是 PDE 是線性的，並且似乎有 $ S\tfrac{\partial}{\partial S} $ 運營商。在更改變數之前，將二階運算符重新安排到其中似乎是明智的第一步。這給出了： $$ \frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2\left(S\frac{\partial }{\partial S}\right)^2V+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)S\frac{\partial V}{\partial S}-rV=0. $$

現在嘗試改變變數 $ S=\exp(y) $ 根據我們之前的直覺，我們得到 $$ \frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)\frac{\partial V}{\partial y}-rV=0. $$

如果我們注意到與到期時間相比，我們正試圖更早地確定價值，那麼這表明了一種轉變 $ \tau = T - t $ ，給出： $$ \frac{\partial V}{\partial \tau}-\frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}-\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)\frac{\partial V}{\partial y}+rV=0. $$

如果我們現在查看最後一項，並將其與時間導數進行比較，我們會發現如果我們有 $ V = \exp(rt) $ . 雖然這不是完整的解決方案，但也許它建議我們用一個浮動的術語來替代，它基於 Black-Scholes 框架只是確保所有價值都正確地貼現/標準化為今天的貨幣。因此這表明 $ u = \exp(r\tau)V $ ，給出： $$ \frac{\partial u}{\partial \tau}-\frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}-\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)\frac{\partial u}{\partial y}=0. $$

最後，如果我們考慮 $ \tau $ 像時間一樣 $ y $ 作為類空間，那麼我們看到係數 $ (r-\tfrac{1}{2}\sigma^2) $ 對應於類似速度的量，然後建議我們使用 $ x=y+(r-\tfrac{1}{2}\sigma^2)\tau $ . 這樣做會給出熟悉的熱方程，它很容易理解並且有已知的解，所以我們停在： $$ \frac{\partial u}{\partial \tau}=\frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}. $$

結論

有很多方法可以改變變數，對於在物理、偏微分方程、金融、機率等方面有很強背景的人來說，經過多年的經驗，其中一些方法可能看起來很明顯。我當然不認為它們都是，但希望以上內容有助於激發改變變數的合理起點。在這種情況下，我只提出了一個一切都很好的案例。實際上，會有大量的試錯階段，僅僅因為某些事情聽起來很合理，並不意味著它會降低 PDE 的複雜性。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/50820