為什麼金融理論如此罕見地偏離正態分佈？
我知道量化金融中幾乎所有的理論都是基於正態分佈的，顯然你不想一時興起就把它全部扔到窗外，但因為股票收益顯然不像我們願意相信為什麼將它們視為不正常如此罕見。例如，您不能根據學生 T 隨機分佈和正態分佈輕鬆模擬價格過程嗎？在查看股票收益時，我們經常看到學生 T 分佈比正常分佈更適合它，那麼為什麼從來沒有做過這樣的事情（至少我從未見過它做過）？
最大的限制是阻止我們在這些想法上走得更遠嗎？
幾何隨機遊走：起點
讓我從更具體一點開始。我們擁有的最簡單但相對合理的資產價格模型是： $$ \begin{equation} ln S(t+1) = \mu - \Psi_{t+1}(-1) + ln S(t) + \epsilon(t+1), ; \epsilon(t+1) | F_t \sim N(0,\sigma^2). \end{equation} $$ 在哪裡 $ \Psi_{t+1}(u) := ln E_t \left( \exp( -u \epsilon_t) \right) $ 是正態分佈的對數條件 MFG，並且 $ F_t $ 是過程的自然過濾。您通常看不到該術語 $ \Psi_{t+1}(-1) $ 在幾何隨機遊走中，但我附加了這個術語，因為它確保： $$ \begin{equation} E_t\left( \frac{S(t+1)}{S(t)} \right) := E_t(R(t+1)) = \mu. \end{equation} $$ 本質上，log MFG 是一種凸性校正。不出所料，當 $ \epsilon(t+1) \sim N(0,\sigma^2) $ ， 我們有 $ \Psi_{t+1}(-1) = \sigma^2/2 $ . 在連續時間內，我們有等價於幾何布朗運動： $$ \begin{equation} \frac{dS(t)}{S(t^-)} = \mu dt + \sigma dW(t) \end{equation} $$ 在哪裡 $ (W(t))_{t \geq 0} $ 是物理測量下的標準布朗運動。如果你應用伊藤引理走向 $ dlnS(t) $ 你會看到凸度校正項也出現了。這樣，一切都以同樣的方式對待。
不錯的屬性：
- 在未來的任何時間間隔內，預期回報只是 $ \mu $ . 關於金融市場，我們確實知道的一件事是第一個條件矩很難估計，所以排除它並不愚蠢；
- 這確保了股票價格永遠不會變成負數；
- 以今天為條件的價格是對數正態分佈的，所以你有一點沉重的尾巴。但是，它確實說回報是有條件的正態分佈。
- 前兩個時刻總結了正態分佈，因此您可以或多或少地將風險等同於變異數，並且由於它是次加性的，因此您立即有一個明顯的建議：多樣化。
這可能就是為什麼歐洲期權估值的第一個嚴格框架是在簡單的幾何布朗運動下建構的（布萊克和斯科爾斯，1973 年）。但是人們很快就開始工作了。
偏離條件正態算術收益的幾個常見範例
**Heston (1993)建議使用隨機波動率模型來模擬股票價格的動態，其中波動率遵循 Ornstein-Uhlenbeck 過程，其中兩個布朗運動相互關聯。該模型考慮了以下事實：波動率估計似乎表現出時間依賴性，並且它們往往與回報呈負相關（至少對於股票市場指數而言）。請注意，現在，收益不再是條件正態，因為它們是由兩個正態分佈的混合建構的。**展望未來，模型將在一個視窗中建立偏度和峰度。
很酷的補充：對於幾何布朗運動的 Black-Scholes-Merton 世界，Heston 的模型允許使用準封閉形式的歐式期權定價公式。事實上，所有允許對數價格呈指數線性條件 MFG 的模型也允許這樣做。
Duan (1995)提出了期權價格的 GARCH 模型。該模型使用正態創新，並且由於對於 GARCH 模型，條件變異數提前一步已知，因此回報僅在提前一個時期是條件正態的。與 Heston (1993) 模型一樣，隨著過去的衝擊以非線性方式進入變異數動態，這會隨著時間的推移建立條件非正態性。
**Bakshi、Cao 和 Chen (1997)有一個很好的（並且著名的）研究，他們比較了許多期權定價模型的定價和對沖性能。他們像赫斯頓一樣有隨時間變化的條件波動，但他們也考慮增加跳躍。當您在連續時間中添加跳躍（或在Christoffersen、Heston 和 Jacobs (2006)**的 IG-GARCH 模型中的重尾創新）時，您會立即偏離可能非常嚴重的條件正態性，即使在非常短的時間內也是如此與 GARCH 和 SV 模型不同，它會隨著時間的推移而逐漸增加。
作為關於期權定價的旁注，條件非正態性對風險中和產生影響。**Christoffersen、Elkamhi、Fenou 和 Jacobs (2010)**表明，這是在 GARCH 模型中在所有時間段強制變異數風險溢價的一種方法（否則，變異數的 Q 和 P 條件預期只會隨著時間而發散），負 VRP 是一個普遍的經驗特徵（這是解決變異數預測難題的一種方法）。
結論
我幾乎沒有觸及金融文獻中非常狹窄的一部分，我們有很多人偏離了強加算術回報條件非正態性的模型的例子。談論這些事情並不復雜。如果你懂一點計量經濟學和最低限度的隨機微積分，你可以通過閱讀相關論文來學習這些東西。