為什麼期權的時間價值在數學上總是正的？

讓我們在 Black-Scholes 框架中考慮一個簡單的歐式期權。

它的數學是什麼 $ SN(d_1) - KN(d_2) $ 這使得它的價值總是大於 $ S-K $ ， 什麼時候 $ S>K $ ? （我假設整個利率為零）。

時間價值是指期權價值與內在價值之間的差異，其中內在價值是 $ \max(S-K,0) $ .

我們考慮案例 $ S\leq K $ 只要。在這種情況下，內在價值為零。注意，

$$ \begin{align*} \frac{\partial C}{\partial S} = N(d_1) >0. \end{align*} $$ 那是， $ C $ 是現貨水平的嚴格遞增函式 $ S $ . 而且， $$ \begin{align*} \lim_{S\rightarrow 0} d_{1, 2} = -\infty. \end{align*} $$ 然後， $$ \begin{align*} \lim_{S\rightarrow 0} C = 0. \end{align*} $$ 所以， $ C>0 $ 持有。

我想我有一部分。假設利率為零，T = 1。那麼看漲價格 C 為

C  =  S.N(d1) – K.N(d2)

其中 S 是基礎價格，K 是行使價，並且

d1 = ln(S/K)/V+V/2
d2 = d1 – V/2

d1 和 d2 用標準差粗略表示貨幣性，包括在 d1 中添加並在 d2 中減去的項 V/2。Nd1 和 Nd2 以機率表示貨幣性。請注意，貨幣越深，機率越接近 1。現在當 S > K 時，很容易表明時間價值必須為正。設 X = 1-Nd1，Y = 1-Nd2。然後

C = S(1-x) – K(1-Y) = S-K +Y-X = intrinsic value + Y – X

由於 V/2 項，d1 總是比 d2 大一點，因此 Nd1 更接近 1，因此 Y>X。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/21521