為什麼ñ(d1)ñ(d1)N(d_1)和ñ(d2)ñ(d2)N(d_2)在 Black & Scholes 中有所不同
我正在努力理解 $ d_1 $ 和 $ d_2 $ 在 Black & Scholes 公式中以及為什麼它們彼此不同。
根據公式，
$$ C = SN(d_1) - e^{-rT}XN(d_2) $$ 這意味著如果看漲期權被行使，人們將收到股票並支付行使價。
顯然，行使價的支付取決於期權以貨幣形式完成，即。這筆付款的未來價值是 $ X \cdot \mathbb{P} (S_T > X) $ 因此貼現現值將是
$$ e^{-rT}X \cdot \mathbb{P} (S_T > X) $$ 由此我們可以看出 Black & Scholes $ N(d_2) $ 是期權行使的機率（在風險中性度量下）。
但從邏輯上講，公式的第一部分——有條件收到股票——應該同樣取決於上述機率，在這種情況下，它的未來價值將是 $ S e^{rT} \cdot \mathbb{P} (S_T > X) $ , 與現值 $ S \cdot \mathbb{P} (S_T > X) $ ，所以布萊克和斯科爾斯公式“應該”
$$ C = SN(d_2) - e^{-rT}XN(d_2) $$ 但公式確實使用 $ N(d_1) $ 並且因為 $ d_1 > d_2 $ 我的理解是，與支付行使價相比，獲得股票的可能性更高。
我經歷了理解 $ N(d_1) $ 和 $ N(d_2) $ ：Black & Scholes 模型中的風險調整機率，也發現Quora 上的這個解釋很有幫助，但仍然看不出我上面描述的構想有什麼根本錯誤。
時間- $ t $ 以現貨價格購買非股息支付股票的歐式看漲期權價格 $ S_t $ , 當罷工是 $ K $ 成熟的時間是 $ \tau = T − t $ , 是風險中性測度下收益的貼現期望值 $ Q $
$$ C(t,{{S}{t}},K,T)={{e}^{-r(T-t)}}\mathbb{E}{t}^{Q},[{{({{S}{T}}-K)}^{+}}]={{e}^{-r\tau }}\mathbb{E}{t}^{Q}[({{S}{T}}-K,),{{1}{,{{S}{T}}>K}}] $$ 在哪裡 $ 1 $ 是指標函式，因此我們有 $$ C(t,{{S}{t}},K,T)=\underbrace{{{e}^{-r\tau }},\mathbb{E}{t}^{Q}[S_T,1{S_T>K}]}{J}-K e^{-r\tau},\underbrace{\mathbb{E}{t}^{Q}[1_{S_T>K}]}{I} $$ 因此我們可以寫 $$ I=\mathbb{E}{t}^{Q}[ 1_{S_T>K}]=Q(S_T>K) $$ 確實，期望值 $ \mathbb{E}{t}^{Q}[ 1{S_T>K}] $ 是在該度量下看漲期權在價內到期的機率 $ Q $ . 評估 $ J={{e}^{-r\tau }},\mathbb{E}{t}^{Q}[S_T,1{S_T>K}] $ 需要改變原來的措施 $ Q $ 換一種措施 $ Q^S $ .考慮Radon-Nikodym導數
$$ \frac{dQ^S}{dQ}=\frac{{{S}{T}}/{{S}{t}}}{{{B}{T}}/{{B}{t}}} $$ 在哪裡 $ d{{B}{t}}=r{{B}{t}}dt $ 或者 $ B_t=e^{rt} $ . 因此 $$ {{e}^{-r\tau }}\mathbb{E}{t}^{Q}[{{S}{T}}{{1}{{{S}{T}}>K}}]={{S}{t}}\mathbb{E}{t}^{Q}\left[{{e}^{-r\tau }}\frac{{{S}{T}}}{{{S}{t}}}{{1}{{{S}{T}}>K}}\right]={{S}{t}}\mathbb{E}{t}^{Q}\left[\frac{{{S}{T}}/{{S}{t}}}{{{B}{T}}/{{B}{t}}}{{1}{{{S}{T}}>K}}\right]={{S}{t}}\mathbb{E}{t}^{{{Q}^{S}}}[{{1}{{{S}{T}}>K}}] $$ 換句話說 $$ J={{e}^{-r\tau }},\mathbb{E}{t}^{Q}[{{S}{T}}{{1}{{{S}{T}}>K}}]={{S}{t}}\mathbb{E}{t}^{{{Q}^{S}}}[{{1}{{{S}{T}}>K}}]=S_t Q^S(S_T>K) $$ 這意味著方程的歐洲看漲期權價格可以用兩種度量寫成 $$ C(t,{{S}_{t}},K,T)=S_t Q^S(S_T>K)- {{e}^{-r\tau}}K Q(S_T>K) $$ 測量中 $ Q $ , $ S_T $ 分佈為具有均值的對數正態分佈 $ m=\ln S_t+(r-\frac{1}{2}\sigma^2)\tau $ 和變異數 $ \Sigma=\sigma^2\tau $ 然後 $$ Q(S_T>K)=N\left(\frac{m-\ln K}{\sqrt{\Sigma}}\right)=N\left(\frac{\ln(S_T/K)+(r-\frac{1}{2}\sigma^2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right)=N(d_2) $$