Black Scholes 非正式推導 - 關於方程中的項的問題
我想知道我圈出的方程式中的術語 S 是什麼意思？我不知道如何解釋它。
從GBM我們有：
$$ (S_{t}-S_{t-1}) \approxeq dS_t = \mu \cdot S_t : dt + \sigma \cdot S_t : dW_t, $$ 在哪裡 $ W_t $ 表示布朗運動。在這裡，第一部分， $ (S_{t}-S_{t-1}) $ , 可以看作是一個離散化 $ dS_t $ . 現在，對 GBM 求平方， $ dS_t^2 $ , 是表示過程二次變分的非正式方式，即 $ [dS_t,dS_t] $ . 稍微非正式的推導給了我們： $$ \begin{align} dS_t^2 & = [dS_t,dS_t]\ &= [\mu \cdot S_t : dt + \sigma \cdot S_t : dW_t, : \mu \cdot S_t : dt + \sigma \cdot S_t : dW_t]\ &= \mu^2 S_t^2 [d_t, d_t] +2\cdot \sigma\mu S_t^2 [dt, dW_t] +\sigma^2 S_t^2 [dW_t,dW_t]\ &= \sigma^2 S_t^2 : dt, \end{align} $$ 在哪裡 $ [dt,dW_t]=[dt,dt]=0 $ 因為任何有限/有界變化過程（讀取確定性函式）的二次變化為零（我說的是 $ dt $ 術語），和 $ [dW_t,dW_t]=dt $ ，因為兩個布朗運動的二次變分等於時間差（您也可以查看 Ito 的乘法表來了解這些結果）。根據您的上述公式， $ S = S_t $ , 並表示現貨價格, 並且可能 $ dt\approx [t-(t-1)]=1 $ .
這是目前的現貨價格，或 $ S_t $ . “下一章”可能會顯示他們是否/為什麼放棄這個近似值的下標，但最終布萊克斯科爾斯方程中的變數將是目前現貨價格。