離散幾何亞洲期權看漲價格公式
我正在尋找形式的亞洲期權的看漲價格 $$ \max{A_T - K, 0} $$ 和 $$ A_T = \left(\prod_{i=1}^nS_{t_i}\right)^\frac{1}{n} $$ 價格低於 $ \mathbb{Q} $ $$ e^{-rT}[S_0e^{\mu_nT} \Phi(d_n) - K \Phi(d_n - \sigma_n \sqrt{T})] $$ 在哪裡 $ \Phi $ 是標準法線並且 $$ \begin{align} \mu_n & = (r-0.5\sigma^2) \frac{n+1}{2n}+0.5\sigma_n^2\ \sigma_n^2 & = \frac{\sigma^2(n+1)(2n+1)}{6n^2}\ d_n & = \frac{\ln (S_0/K) + (\mu_n +0.5\sigma_n^2)T}{\sigma_n \sqrt{T}} \end{align} $$ 我試過分裂期望： $$ \begin{alignat*}{2}\Pi_0&=e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[\max{A_T-K, 0}|\mathcal{F}0]\ & = e^{-rT} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[(A_T-K) \mathbb{1}{A_T > K}|\mathcal{F}0]\ &= e^{-rT}\left( \mathbb{E}^\mathbb{Q}[A_T \mathbb{1}{A_T > K}|\mathcal{F}0]- \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[K \mathbb{1}{A_T > K}|\mathcal{F}0]\right) \end{alignat*} $$ $$ \begin{split} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[A_T\mathbb{1}{A_T > K}|\mathcal{F}0]&=\int_K^\infty A f(A) dA\ &=\int{K}^\infty A \frac{1}{A \sigma_n \sqrt{2 \pi T}}\exp\left{-\frac{(\log(A) -\left(\log(S_0) + \left((r - 0.5\sigma^2)\frac{n+1}{2n}T \right) \right)^2}{2 \sigma_n^2T}\right}dA \end{split} $$ 和 $$ \begin{split} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[K \mathbb{1}{A_T > K}|\mathcal{F}0] & = K \mathbb{E}^\mathbb{Q}[\mathbb{1}{A_T > K}|\mathcal{F_0}]\ &= K\mathbb{Q}(A_T > K)\ &= K\mathbb{Q}\left(\exp\left{\log(S_0) + \frac{n+1}{2}(r-0.5\sigma^2) \Delta_t + \sum{i=1}^n \sigma_i Z_{n-i+1}\right} > K\right) \end{split} $$ 和 $ Z_i \sim \mathcal{N}(0,1) $ 和 $ \sigma_i=\frac{i\sigma}{n}\sqrt{\Delta_t} $ ( $ \Delta_t $ 是固定週期之間的時間）。我認為我在正確的軌道上，但似乎計算會很乏味。有沒有更簡單的方法來做到這一點？到目前為止，我已經證明了最後一部分的相等性，並得出了 pdf 中出現的均值和變異數。
提示（評論太長）：如果你寫 $$ S_t=S_0e^{rt+\sigma W_t-\frac{\sigma^2 t}{2}} $$ 然後 $$ A_T=\left(\prod_{i=1}^nS_{t_i}\right)^\frac{1}{n}=S_0\exp\left(\frac{r}{n}\sum_{i=1}^nt_i+\frac{\sigma}{n}\sum_{i=1}^nW_{t_i}-\frac{\sigma^2}{2n}\sum_{i=1}^nt_i\right),. $$ 這可以被認為是一個對數正態變數： $$ A_T=S_0e^{\alpha+\beta Y-\beta^2/2} $$ 在哪裡 $ Y $ 是標準正常的，
$$ \alpha-\frac{\beta^2}{2}:=\frac{r}{n}\sum_{i=1}^nt_i-\frac{\sigma^2}{2n}\sum_{i=1}^nt_i $$ 和 $ \beta^2 $ 是變異數 $$ \frac{\sigma}{n}\sum_{i=1}^nW_{t_i},. $$