GBM 中的 Ito 修正項是“真錢”，還是虛幻的？
有兩種方法可以考慮投資回報和隨機性。
首先有點像“銀行利息”，具有隨機性。假設我們投資了 100 個單位的貨幣。假設每年都有一個正態分佈的“市場回報”，其均值 $ \mu $ 和sd $ \sigma $ . 讓我們假設 $ \mu=.10 $ 和 $ \sigma=.15 $ 為了具體。然後，我們要做的是添加正態分佈的回報，在這種情況下分佈為 $ N(10, 15) $ 到最初的 100。這給了我們一個隨機值，分佈為 $ N(110, 15) $ . 然後我們明年再做一次，它將分發為 $ N(121,\cdot) $ 等。經過 T 年後，分佈為 $ N(100\cdot 1.1^T,\cdot) $ . 這意味著期望值、均值、中位數和眾數都相同： $ 100\cdot 1.1^T $
另一種方法是使用隨機微積分中的 GBM。在不存在隨機性時（即，如果 $ \sigma=0 $ )，適當的值 $ \mu $ 對於 GBM 中假設的對數正態價格分佈的正態分佈是 $ ln(1.1) $ ，大約是 9.53%（只是由於連續複利的差異）。現在，如果沒有不確定性（或非常非常少），一切都對應，並且時間 T 的值是 $ 100\cdot e^{.0953T} $ , 這與 $ 100\cdot 1.1^T $ .
但是，如果存在不確定性，GBM 會告訴我們最終結果是對數正態價格分佈，這意味著，如果我們呼叫 $ \mu $ 值 .0953, (1) 期望值為 $ 100\cdot e^{(\mu-\frac{\sigma^2}{2})T+\sigma W_t} $ 這也意味著，與“銀行利息”模型相比，收益曲線沒有與 GBM 解決方案相同的眾數或中位數。
我的問題是：如何用“真錢”來解釋這些差異？
假設我們查看了 10 年的年回報率，它們實際上平均每年正好是 10%，這是對未來平均回報率的完美預測。這是一個觀察到的數字，並給了我們 $ \mu $ （如上所述）任一模型。
如果我們想像 10,000 名投資者都投資於如上所述的獨立但分佈相同的投資，我可以看到兩種推理方式。
- 市場平均提供 10% 的收益，並且在任一模型下，投資者的預期價值必須相同。但是，“銀行賬戶”方法更正確，因為添加法線必須給出正常的結果，並且平均值、眾數（最大概似）和中位數都是相同的，因為結果是對稱的。
2）另一種看待它的方式是這些模型中的一個在某種程度上是“錯誤的”。但是哪個？為什麼？
我的直覺是 GBM 更“正確”。考慮到凸性等，這些具有不同但相同分佈的回報流的人在觀察時將有一條向右的尾巴，並且該模式將低於投資的均值（或預期）值。有些人解釋了解決方案的形式（有 $ (\mu-\frac{\sigma^2}{2})t $ 形式）反映了“波動性拖累”，但 GBM 解決方案實際上有一條向右的尾巴，似乎隨著波動性的增加而增長——使得平均結果越來越高於最可能的結果。但為什麼會這樣呢？
GBM 下的期望值為：
$$ \mathbb{E}(S_t) = S_0 e^{\mu t} $$ 不 $ +\frac{\sigma^2}{2} $ 在指數中。
作為參考，請閱讀這個有用的 math.SE 答案。
因此沒有要查詢的“額外價值”。
首先，正如@Phil H 所指出的，您的平均值是錯誤的。
現在，也許這將解決您的問題。回想一下帶漂移係數的 GBM SDE 的解 $ \mu $ 和擴散係數 $ \sigma $ 是：
$$ S_t=S_0\exp\left{\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t+\sigma W_t\right} $$ 請注意，漂移已被負項校正。它從何而來？假設股票貶值了一個百分比 $ r \in [0,1] $ 一天，只能在第二天恢復相同的百分比。那麼總回報為：
$$ (1-r)(1+r) = 1-r^2<1 $$ 因此，收益的波動性具有內在成本。這有時被稱為“波動拖累”（例如參見這個問題），事實上，正如您在我上面的範例中看到的那樣，它確實會產生“真錢”。