Black-Scholes 模型鞅中的漂移項
如果 Black-Scholes 模型有漂移，我將如何證明它不是 Martingale。在許多情況下，它只是作為事實陳述（沒有證據）。例如，如果我在看： $$ dS_{t} = \mu S_{t} + \sigma S_{t} dB_{t} $$ $$ S_{0} = 1, \beta {t} = e^{et}, \tilde{\beta}=B{t}+((\mu-2r)/ \sigma)t $$
從這裡我得到： $ dS_{t} = \mu S_{t} + \sigma S_{t} d (\tilde{\beta}-((\mu-2r)/ \sigma)t) $ 擴展時會導致： $$ dS_{t} = \sigma S_{t}d \tilde{\beta}{t} + 2rS{t}dt $$ 有沒有辦法證明這不是具有更實質性而不是“有漂移項”的馬丁格爾。我假設它必須回到解決 SDE 的問題。從它在P下開始$$ Z(t)=S(t)e^{-rt}= S(0)*e^{(\mu -r-1/2 * \sigma^{2})t +\sigma B(t)} $$然後將其更改為在Q下。 $$ Z(t)=S(0)*e^{(\sigma^{2})t +\sigma W(t)} $$ 任何關於如何實際證明沒有漂移的幫助都是鞅（因此漂移不是）將不勝感激。
沒有漂移是鞅：
ito 積分是鞅需要一個簡單但在代數上複雜的證明。您可以參考 Shreve（連續時間）的證明。您還可以直覺地觀察它，因為與被積函式相乘的布朗增量是獨立於被積函式值分配的。因此，當添加所有項時，總和不會向上或向下偏移。這正是鞅屬性。
鞅沒有漂移：
鞅表示定理 (MRT) 斷言（鬆散地說）鞅可以表示為隨機積分。這需要將鞅的任何其他表示形式作為 Ito 過程：
$ dX/X = a(t,X)dt+b(t,X)dW(t) $
一定有 $ a(t,X):=0 $ . 如果沒有，我們有：
$ a(t,X)dt+b(t,X)dW(t)=c(t,X)dW(t) $ 對所有人 $ t $ , 對於某些函式 $ c $ 由於捷運。
$ a(t,X)dt=c(t,X)dW(t)-b(t,X)dW(t) $ 對所有人 $ t $
由於 LHS 沒有二次變化，因此 RHS 也必須如此，因此 $ c(t,X)=b(t,X) $ , 離開 $ a(t,X) $ 同為 0。
因此，鞅的任何東西都不能有漂移。
因此，鞅相當於沒有漂移。
我在這裡看到了一些混亂。我試著澄清一下。首先，鞅不是 Black-Scholes 模型。股票可能是鞅。
讓我在這裡回憶一下作為鞅是什麼意思。隨機過程（具有“良好的屬性”） $ X_t $ 據說是鞅（經過一定的過濾 $ \mathcal{F}_t $ ） 如果： $$ \mathbb{E}\left[ \ X_t \ | \ \mathcal{F}_s \right] = X_s $$ 讓我談談伊藤的流程。我將 Ito 的過程定義為： $$ dX_t = \mu(t, X_t)dt + \sigma(t, X_t)dB_t $$ 在哪裡 $ B_t $ 是一個 SBM。我記得上面只是一個簡寫符號： $$ X_t - X_0 = \int_0^t \mu(s, X_s)ds + \int_0^t \sigma(s, X_s)dB_s $$ 考慮（就足夠了）一個簡單的情況，其中 $ \sigma(s, X_s) = \sigma $ 和 $ \mu(s, X_s) = \mu $ . 然後我們有： $$ X_t - X_0 = \mu t + \sigma B_t $$ 這是因為常數可以被帶到積分之外，並且 $ \int_0^t dB_s = B_t $ .
現在回想一下 $ \mathbb{E}[B_t | \mathcal{F}_s ] = B_s $ . 所以我們有： $$ \mathbb{E}\left[ \ X_t | \mathcal{F}_s \right] = X_0 + \mu t + \sigma B_s $$ 憶及： $$ X_s = X_0 + \mu s + \sigma B_s $$ 我們看到兩者不同。因此， $$ \mathbb{E}\left[ \ X_t | \mathcal{F}_s \right] \neq X_s $$ IE $ X_t $ 不是鞅。