等價鞅測度價格動態
認為 $ S_0(t)=\exp(\int_0^t r(s) ds) $ . 然後 $ \mathbb{Q}\sim \mathbb P $ 是鞅測度 $ \iff $ 每一個資產價格過程 $ S_i $ 價格動態低於 $ \mathbb Q $ 形式的
$ dS_i(t)=r(t)S_i(t)dt+dM_i(t) $ ,
在哪裡 $ M_i $ 是一個 $ \mathbb Q $ - 鞅。
我閱讀了這個定理的以下證明：
讓 $ \tilde{S}_i(t)=\dfrac{S_i(t)}{S_0(t)} $ .
$ \dfrac{1}{S_0(t)}=\exp(-\int_0^t r(s) ds) $
因此
$ d\left(\dfrac{1}{S_0(t)}\right)=-r(t)\dfrac{1}{S_0(t)}dt. $
根據 Itó 的產品規則
$ d\left(\dfrac{S_i(t)}{S_0(t)}\right)=-r(t)S_i(t)\dfrac{1}{S_0(t)}dt+\dfrac{1}{S_0(t)}dS_i(t)+d\langle S_i,\dfrac{1}{S_0}\rangle_t= -r(t)\tilde{S}_i(t)dt+\dfrac{1}{S_0(t)}dS_i(t). $
我理解證明的每一個數學步驟，但為什麼這證明了定理？誰能解釋一下？
就目前而言，斷言“ $ \Bbb{Q} \sim \Bbb{P} $ 是一個鞅測度”是不完整的。它沒有告訴你什麼過程應該出現在下面的鞅 $ \Bbb{Q} $ . 這些過程是 $ \tilde{S}_i(t) = S_i(t)/S_0(t) $ 對於任何交易資產 $ S_i $ .
話雖如此，從最後一個等式開始：
$$ d\left(\dfrac{S_i(t)}{S_0(t)}\right)= -r(t)\tilde{S}_i(t)dt+\dfrac{1}{S_0(t)}dS_i(t). $$ 為了 $ \tilde{S}_i(t)=S_i(t)/S_0(t) $ 作為一個出現 $ \Bbb{Q} $ 鞅，你應該有， $$ d\tilde{S}_i(t) = -r(t)\tilde{S}_i(t)dt+\dfrac{1}{S_0(t)}dS_i(t) = d M_i(t) $$ 和 $ M_i(t) $ 一個 $ \Bbb{Q} $ -鞅。 隔離 $ dS_i(t) $ 在第二個相等給出
$$ \begin{align} dS_i(t) &= r(t) \tilde{S}_i (t) S_0(t) dt + S_0(t) d M_i(t) \ &= r(t) S_i(t) dt + d M^_i(t) \ \end{align} $$ 假設通常的可積性條件成立，使得 $$ M^_i(t) = \int_0^t S_0(u) dM_i(u) $$ 是一個定義明確的Itô-integral，因此也是一個鞅（請參閱此處的提示）