如何通過觀察到的市場價格計算隱含相關性（Margrabe 期權）
我似乎無法弄清楚如何執行以下操作：計算隱含相關性 $ ρ_{imp} $ 通過使用觀察到的市場價格 $ M_{quote} $ Margrabe 期權，並求解如下所示的非線性方程：
$$ M_{quote} = e^{−q_0T}\times S_0(0)\times N(d_+)−e^{−q_1T}\times S_1(0)\times N(d_−) $$
在哪裡：
$$ \begin{align} & d_\pm = \frac{\log\frac{S_0(0)}{S_1(0)}+(q_1 − q_0 ±σ^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}} \[4pt] & \sigma = \sqrt{\sigma^2_0 + \sigma^2_1 − 2\rho_{imp}\sigma_0 \sigma_1} \end{align} $$
注意 $ d_− = d_+ − σ\sqrt{T} $ .
讓 $ \rho\triangleq\rho_{imp} $ . 注意： $$ \frac{\partial \sigma}{\partial \rho}(\rho)=-\frac{\sigma_0\sigma_1}{\sigma(\rho)}<0 $$ 所以 $ \sigma $ 在隱含相關性上是單調的。此外，Margrabe 定價函式 $ M(\cdot) $ 波動性也是單調的 $ \sigma $ 因此，您可以找到方程的唯一解： $$ \tag{1}M_{\text{quote}}=M(\rho) $$ 在哪裡： $$ M(\rho)=e^{−q_0T}S_0(0)N(d_+)−e^{−q_1T}S_1(0)N(d_−) $$ 和 $ d_\pm $ 如您的問題中所定義，與 $ M_{\text{quote}} $ 觀察到的市場價格。在實踐中，這可以重新表述為： $$ \begin{align} &\min_\rho\left(M(\rho)-M_{\text{quote}}\right)^2\tag{2} \ &\ \text{s.t. } \rho \in [-1,1] \end{align} $$ 因為 $ (M(\rho)-M_{\text{quote}})^2\geq0 $ . 這是一個可以通過傳統技術解決的優化問題：
- @Alex C 建議的解決方案會給你一個快速、近似的答案；
- 如果你想要任意精度，你可以使用一個簡單的牛頓算法 $ (1) $ 或者 $ (2) $ 有根值 $ \rho=0 $ ，這在 Excel VBA 中程式很快，或者您甚至可以找到一個線上工具來完成它。此PDF解釋了在 Black-Scholes 框架中進行普通呼叫以查找隱含波動率的方法，但設置非常相似。另一種選擇是梯度下降，但這可能需要更長的時間來程式，你必須這樣做 $ (2) $ ;
- 您還可以使用Excel 的 Solver找到解決方案 $ (1) $ 直接地。我試過了 $ S_0(0)=$101 $ , $ S_1(0)=$113.5 $ , $ \sigma_0=45% $ , $ \sigma_1=37% $ , $ T=1\text{ year} $ 和 $ q_0=q_1=0 $ 它工作得很好。