兩種資產風險的市場價格
在布萊克-斯科爾斯模型的假設下，我讀到兩種資產風險的市場價格 $ S_1 $ 和 $ S_2 $ 如果它們都遵循由相同布朗運動驅動的幾何布朗運動，則它們是相同的。
主張是，如果 $$ \begin{align*} dS_1(t)&=\mu_1S_1(t)dt+\sigma_1S_1(t)dW(t),\qquad\text{and} \ dS_2(t)&=\mu_2S_2(t)dt+\sigma_2S_2(t)dW(t) \end{align*} $$ 然後$$ \frac{\mu_1-r}{\sigma_1}=\frac{\mu_2-r}{\sigma_2} $$在哪裡 $ r $ 是無風險利率。這一點的“證明”依賴於建構一個投資組合 $ \sigma_2S_2 $ 單位 $ S_1 $ 和 $ -\sigma_1S_1 $ 單位 $ S_2 $ 並假設這個投資組合是自籌資金的，然後用伊藤關於這個投資組合價值的公式表明它只有一個漂移項。我不相信這個投資組合是自籌資金的假設成立。
該主張是否成立，如果是，是否有證據證明這一結果？
編輯：
對此進行了更多思考，並意識到它不屬於資產定價第二基本定理，其中風險中性度量是唯一的，當且僅當市場是無套利且完整的。
假設市場是無套利且完整的，我們可以建構度量 $ \mathbb{Q}_1 $ 和 $ \mathbb{Q}_2 $ 這樣$$ W_1(t)=W(t)+\frac{\mu_1-r}{\sigma_1}t,\qquad W_2(t)=W(t)+\frac{\mu_2-r}{\sigma_2}t $$是 $ \mathbb{Q}_1 $ 和 $ \mathbb{Q}_2 $ 布朗運動分別。這兩種度量都產生了一種度量，即貼現的資產價格是鞅。憑藉獨特性， $ \mathbb{Q}_1=\mathbb{Q}_2 $ 所以$$ \frac{\mu_1-r}{\sigma_1}=\frac{\mu_2-r}{\sigma_2}. $$
這是一個使用無套利等價性和隨機折扣因子存在的簡單解決方案。讓 SDF 成為 $ \Lambda(t) $ . 這演變為
$$ \frac{d\Lambda(t)}{\Lambda(t)}=-rdt-\varphi(t) dW(t), $$
我們使用了這樣一個事實，即 SDF 的漂移是無風險利率，並且只有一個不確定性來源。股票的標准定價條件是
$$ (\mu_1-r)dt=-\frac{dS_1(t)}{S_1(t)}\frac{d\Lambda(t)}{\Lambda(t)}=\sigma_1\varphi(t)dt $$
$$ (\mu_2-r)dt=-\frac{dS_2(t)}{S_2(t)}\frac{d\Lambda(t)}{\Lambda(t)}=\sigma_2\varphi(t)dt. $$
這是風險的市場價格 $ \varphi(t) $ 是（誰）給的
$$ \varphi(t)=\frac{\mu_1-r}{\sigma_1}=\frac{\mu_2-r}{\sigma_2} $$
另一種看待它的方式是，我們有一個驅動市場的一維布朗運動過程，但有兩種風險資產。風險過程的市場價格（給出等價的鞅測度）， $ \lambda $ ，則必須遵守兩個條件：
$$ \lambda \sigma_1 =\mu_1 -r $$ $$ \lambda \sigma_2 =\mu_2 -r $$
這意味著
$$ \frac{\mu_1-r}{\sigma_1}=\frac{\mu_2-r}{\sigma_2}. $$
**更新：**另一種方式（與問題中的策略相同，但投資組合不同）。
對於自籌資金的投資組合 $ (\gamma^1, \gamma^2,\beta) $ ， 我們有：
$$ P_t = \gamma^1_tS_t^1 + \gamma^2_tS_t^2 + \beta_tB_t $$
和
$$ dP_t = \gamma^1_t dS_t^1 + \gamma^2_t dS_t^1 +\beta_tdB_t $$
這與
$$ dP_t = \gamma^1_t dS_t^1 + \gamma^2_t dS_t^1 +r(P_t - \gamma^1_tS_t^1 - \gamma^2_tS_t^2) dt $$
（用過的 $ dB_t = rB_t dt $ 在最後一步）
事實證明 $ \beta_t $ 需要有風險，資產的功能。我們採取：
$$ \gamma_t^1 = (\sigma_1 S_t^1)^{-1} $$
$$ \gamma_t^2 = (\sigma_2 S_t^2)^{-1} $$
和 $ \beta $ 由等式定義：
$$ d\beta_t = B_t^{-1}(\gamma_t^1 dS_t^1 + \gamma_t^2 dS_t^2 ) $$
這是自籌資金，因為：
$$ dP_t = d(\gamma^1_tS_t^1 + \gamma^2_tS_t^2 + \beta_tB_t) $$ $$ = d(\sigma_1^{-1} + \sigma_2^{-1} + \beta_tB_t) $$ $$ = B_t d\beta_t + \beta_tdB_t $$ $$ = \gamma_t^1 dS_t^1 + \gamma_t^2 dS_t^2 + \beta_tdB_t. $$
（我們使用了以下事實，即 $ \beta_t $ 和 $ B_t $ 是 $ 0 $ )
最後，一些簡單的計算現在將我們帶到：
$$ dP_t= \gamma^1_t dS_t^1 + \gamma^2_t dS_t^1 +r(P_t - \gamma^1_tS_t^1 - \gamma^2_tS_t^2) dt $$
$$ = \left(rP_t + \frac{\mu_1-r}{\sigma_1} -\frac{\mu_2-r}{\sigma_2} \right)dt $$
**更新 2：**對於問題中的權重，我們可以選擇 $ \beta $ 這樣
$$ d \beta = - B^{-1}(\sigma_2 S^1 dS^2 - \sigma_1 S^2 dS^1 + (\sigma_2 -\sigma_1)dS^1dS^2) $$
為了 $$ P = \sigma_2 S^2S^1 - \sigma_1 S^1S^2 + \beta B $$
然後我們有：
$$ dP = (\sigma_2 -\sigma_1)d(S^1S^2) + Bd\beta + \beta dB $$ $$ = (\sigma_2 -\sigma_1)(S^1dS^2 + S^2dS^1 + dS^1dS^2) + Bd\beta + \beta dB $$ $$ = \sigma_2S_2 dS^1 -\sigma_1 S^1 dS^2 + \beta dB $$
因此，最終的投資組合動態是：
$$ dP= \sigma_2 S^2dS^1 - \sigma_1 S^1dS^2 +r(P_t - \sigma_2 S^2S^1 + \sigma_1 S^1S^2 ) dt $$
$$ = \left(rP + \sigma_2(\mu_1-r)S^1S^2 - \sigma_1(\mu_2-r)S^1S^2\right) dt $$