BSM公式理解中的問題
我目前正在學習 Black-Scholes-Merton 偏微分方程，並且有一些我無法解決的困惑。
在 Black-Scholes 假設下，我們有：
$$ df=\left(\frac{\partial f}{\partial S}\mu S+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac 12\frac{\partial^2f}{\partial S^2}\sigma^2S^2\right)dt+\frac{\partial f}{\partial S}\sigma S dB_t $$ 要建構投資組合：
$$ \Pi=-f+\frac{\partial f}{\partial S}S $$ 我們可以消除隨機性，所以我們有： $$ \Delta \Pi=\left(-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac 12\frac{\partial^2f}{\partial S^2}\sigma^2S^2\right)\Delta t $$ 任何無風險資產必須滿足 $ \Delta\Pi=r\Pi\Delta t $ ，那麼我們就可以得到微分方程。
我的問題是：
- S 在嗎 $ \Delta \Pi=\left(-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac 12\frac{\partial^2f}{\partial S^2}\sigma^2S^2\right)\Delta t $ 還是一個隨機過程？還是一開始的股價，哪個是確定性的？
- 如果 S 是一個隨機過程，那麼根據幾何布朗運動假設， $ S=S_0e^{\sigma B_t+(\mu-\frac12\sigma^2)t} $ ， 其中包含 $ \mu $ 作為參數。那我們怎麼能說它不依賴於 $ \mu $ 並更換 $ \mu $ 和 $ r^f $ 在風險中性的世界裡？
關於你的第一個問題，你實際上有：
$$ d\Pi_t=-\left(\frac{\partial f_t}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2f_t}{\partial S_t^2}\sigma^2S_t^2\right)dt $$ 該等式代表了無限小時間跨度內的投資組合演變 $ dt $ （即從 $ t $ 至 $ t+dt $ ）。請注意，該術語 $ S_t $ 是當時的股價 $ t $ 因此在間隔期間它是已知的 $ [t,t+dt] $ 所以它不是一個隨機變數，而是一個確定的量。
至於你的第二個問題，請注意 Black-Scholes 方程是：
$$ \frac{\partial f_t}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2f_t}{\partial S_t^2}\sigma^2 S_t+\frac{\partial f_t}{\partial S_t}rS_t=rf_t $$ 根據Feynman-Kac 公式，上述 PDE 的解是終端條件的貼現期望 $ - $ 在這種情況下，終止條件是衍生品在到期時的收益 $ f(T,S_T) $ ， 例如 $ \max(0,S_T-K) $ 用於歐洲通話 $ - $ 對於機率測度 $ Q $ 在這種情況下，股票價格跟隨 SDE：
$$ dS_t=rS_tdt+\sigma S_tdW^Q_t $$ 即更換 $ \mu $ 經過 $ r $ 是來自 Feynman-Kac 的數學“技巧”。這個方便的技巧 $ - $ 方便，因為它允許計算衍生品價格作為預期而不是 PDE 的解決方案 $ - $ 例如， Harrison 和 Pliska (1981)已將其形式化和概括化。