模擬股票和期權的聯合動態

我想知道股票的聯合動態以及從現在到現在的有限時刻的選擇權 $ T $ 許多可能路徑的期權到期日期。

讓 $ r_{\mathrm{s}} $ 和 $ r_{\mathrm{o}} $ 表示股票和期權的回報。然後我有興趣知道 $ \mathrm{E}t([r{\mathrm{s}}; r_{\mathrm{o}}]) $ 期望的回報 $ t $ 到 $ t+1 $ 和 $ \mathrm{Var}t(r{\mathrm{s}}, r_{\mathrm{o}}) $ 變異數 $ t $ 到 $ t+1 $ . 股票的預期收益和波動率是已知的。

我的第一個想法是使用 Monte Carlo 和以下虛擬碼：

N <- number of paths
T <- number of moments
M <- number of subpaths
S <- current stock price
for i = 1 to N:
   S_0 <- S
   for t = 0 to T-1:
       for j = 1 to M:
           S_{t+1,j} = f(S_t)
           O_{t+1,j} = BSM(S_{t,j})
       S_{t+1} <- mean(S_{t+1,j})
       E_{i,j} <- mean(S_{t+1,j}, O_{t+1,j})
       V_{i,j} <- var(S_{t+1,j}, O_{t+1,j})
return (E, V)

在哪裡 $ S_t $ 是目前股價， $ f(S_t) $ 在給定目前股價的情況下，給出下一刻股價的實現，讓我們假設幾何布朗運動， $ \textrm{BSM}(S_t) $ 在給定目前股票價格和使用 BSM 公式的一些任意參數和我感興趣的值的情況下給出期權E價格V。

這可能可以通過一些聰明的想法來優化，例如重用機率分佈中的繪圖和離散狀態空間以及使用記憶 BSM。然而，這不是我想要的。我寧願直接計算均值和變異數，問題是：如何？

在這種情況下，由於期權價值是股票價格的已知確定性函式，因此可以簡單地計算“聯合動態”。例如，時間的期權價值的平均值 $ \tau $ 是

$$ \mu_O = \int_0^\infty BSM( S_\tau ) p(S_\tau) dS_\tau $$ 最好使用scipy等標準數值庫中提供的正交計算。功能 $ p(S_\tau) $ 通常是 Black-Scholes 機率密度 $$ \frac{n( d_2(S_0,S_\tau) )} {S_\tau \sigma \sqrt{\tau} }. $$ 和 $ S_\tau $ 代替罷工 $ K $ 在公式中 $ d_2() $ . 類似地，期權價值的時間變異數 $ \tau $ 是

$$ \int_0^\infty (BSM( S_\tau ) - \mu_O)^2 p(S_\tau) dS_\tau $$ 期權價值與股票價格的共變異數為 $$ \int_0^\infty (BSM( S_\tau ) - \mu_O)(S_\tau-\mu_S) p(S_\tau) dS_\tau. $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/3010