隨機過程和布朗運動
我剛剛閱讀了以下內容，但我很難解釋它：
我們在標準的 Black-Scholes 世界中開始我們的分析，該世界由一個銀行賬戶的價格過程組成，表示為 $ B_t $ ，以及一個有風險的庫存過程 $ S_t $ , 都定義在過濾的機率空間上 $ (0, \mathbb{F}, \mathfrak{F}_t, \mathbb{P}) $ , 過濾 $ \mathfrak{F}_t $ 由標準布朗運動產生 $ W_t $ . 因此，兩種資產流程都適用於過濾 $ \mathfrak{F}_t $ , 局部動態如下所示
$$ \begin{eqnarray} \mathrm{d}S_t & = & \mu S_t \mathrm{d}t + \sigma S_t \mathrm{d}W_t,\ \mathrm{d}B_t & = & r B_t \mathrm{d}t. \end{eqnarray} $$
問題是與這兩個方程有關的最後一句話？
**更新：**怎麼樣 $ B_t $ 適應相同的過濾 $ \mathfrak{F}_t $ 作為 $ S_t $ 自從 $ B_t $ 不受任何布朗運動的驅動？
我不確定我是否理解你的問題。如果不是 - 那麼請澄清。
- 過程為 $ S $ 遵循恆定係數幾何布朗運動後的風險資產價格的 Black-Scholes 假設。
- 過程為 $ B $ 從瞬時利率不變得出。
- 適應過濾的工藝 $ \left( \mathfrak{F}t \right){t \in \mathbb{R}+} $ 只是意味著對於每個 $ t \in \mathbb{R}+ $ , 隨機變數 $ S_t $ 是 $ \mathfrak{F}_t $ - 可測量的。將其視為中的資訊 $ \mathfrak{F}_t $ 足以確定 $ S_t $ . 進一步思考自然過濾 $ \mathfrak{F}_t $ 布朗運動 $ W $ 包含觀察的所有資訊 $ W $ 直到時間 $ t $ . 鑑於該過程 $ S $ 只有一個不確定性的驅動源 $ W $ ，因此知道路徑 $ W $ 及時 $ t $ 足以確定路徑 $ S $ 到那個時候。最後， $ S $ 適應於產生的自然過濾 $ W $ .
回答您的更新：
正如 Quantuple 所說，非隨機過程 $ B $ 適用於任何過濾。你不需要知道關於路徑的任何事情 $ W $ 為了知道價值 $ B_t $ 對於任何 $ t \in \mathbb{R}_+ $ . 即，即使是資訊 $ \mathfrak{F}_0 $ （平凡的 sigma 代數）足以確定 $ B_t $ . 自從 $ \mathfrak{F}_0 \subseteq \mathfrak{F}_t $ 它遵循 $ B $ 被改編。