Black Scholes-Model中等價鞅測度的唯一性
讓我們考慮具有價格過程的標準 Black-Scholes 模型 $ S_t $ 滿足 SDE
$$ dS_t = S_t(bdt + \sigma dB_t) $$， 在哪裡 $ B_t $ 是機率的標準布朗運動 $ \mathbb{P} $ . 我理解鞅測存在的證明 $ \mathbb{Q} $ 相當於 $ \mathbb{P} $ 基於 Girsanov 定理，但我看不出如何推導出 $ \mathbb{Q} $ . 你能幫我嗎？ 編輯：在 Jeanblanc, Yor, Chesney $ \textit{Mathematical Methods for Financial Markets} $ 我找到了以下證據：
如果 $ \mathbb{Q} $ 相當於 $ \mathbb{P} $ 那麼存在嚴格正鞅 $ L_t $ 這樣 $ \mathbb{Q}|{F_t} = L_t\mathbb{P}|{F_t} $ . 從下的可預測表示屬性 $ \mathbb{P} $ , 存在一個可預測的 $ \psi $ 這樣
$$ dL_t = \psi_tdB_t = L_t\phi_tdB_t, $$在哪裡 $ \psi_t = \phi_tL_t $ . 它遵循$$ d(LRS)_t \stackrel{mart}{=} (LRS)_t(b − r + \phi_t\sigma)dt $$ （在哪裡 $ dX_t \stackrel{mart}{=} dY_t $ 半鞅 $ X $ 和 $ Y $ 意思是 $ X-Y $ 是局部鞅， $ R_t=e^{-rt} $ 是一個折扣過程）。因此，為了 $ \mathbb{Q} $ 成為一個 emm，或等價於 $ LRS $ 成為一個 $ \mathbb{P} $ -局部鞅，只有一個過程 $ \phi $ 使得 LRS 的有界變化部分為空，即$$ \phi_t = \frac{r − b}{\sigma}=−\theta. $$
現在 Girsanov 定理給了我們這樣的 emm 和事實的存在 $ \phi $ is unique 賦予我們獨特性 $ \mathbb{Q} $ . 不幸的是，我不明白在哪裡 $ \stackrel{mart}{=} $ 平等的來源和原因 $ LRS $ 成為一個 $ \mathbb{P} $ -局部鞅，必有過程 $ \phi $ 使得 LRS 的有界變化部分為空。您知道如何進行這些步驟嗎？
我對證明特別感興趣 $ d(LRS)_t \stackrel{mart}{=} (LRS)_t(b − r + \phi_t\sigma)dt $ .
鞅必須有恆定的期望，這樣添加一個確定的有限變分過程 $ (b-r)dt $ 會破壞鞅屬性（除了當它是一個常數時，它不是通過與 $ dt $ ).
因此，必須消除有限變分過程 $ Q $ LRS 是一個（等價的）鞅測度，如圖所示，在這種情況下唯一唯一的選擇是
$$ \phi_t=-\theta. $$ 斷言 $ \stackrel{mart}{=} $ 本身並不代表相等，這是假設的鞅要求 $ Q $ . $ Q $ 然後由 Girsanov 定理選擇 $ \phi_t=-\theta $ 這樣 $ \stackrel{mart}{=} $ 持有。