布萊克-斯科爾斯-Pde
Black-Scholes-Formula 的有限差分法
對 Black-Scholes-Partial Differential Equation 使用有限差分法，需要在網格邊緣施加一些邊界條件，即對於 $ D=[a,b]\times R^+ $ 需要將邊界條件強加於 $ V(a,t) $ 和 $ V(b,t) $ ， 在哪裡 $ V(x,t) $ 由 Black-Scholes-Partial Differential Equation 描述 $ x $ 和 $ t $ 分別代表衍生工具的基礎價格和到期時間 $ V $ .
問題：通過施加這些邊界條件，是否對問題的適定性有影響？由非隨機偏微分方程可知，加入邊界條件會使初值問題變得不適定。是否有任何“規則”來選擇邊界條件以確保問題得到妥善解決？
這取決於您要定價的收益類型。如果是看漲期權，你知道 $ V(0,t) = 0 $ 和 $ V(x,t) \approx x $ 什麼時候 $ x \rightarrow +\infty $ 所以你可以使用狄利克雷條件 $ V(a,t) = 0 $ 和 $ V(b,t) = b $ . 或者，您可以使用線性條件 $ \frac{\partial^2V}{\partial x^2} = 0 $ 在實踐中，它適用於各種收益。唯一需要小心的情況是當你為障礙期權定價時，例如漲跌期權，在這種情況下 $ b $ 將設置為障礙，您必須使用狄利克雷條件 $ V(b,t) = $ 障礙的回報。
請注意，為了提高方案的數值收斂性，如果在 $ \frac{\partial^2V}{\partial x^2} $ 當您使用統一網格時，PDE 中的術語，因此對於 Black & Scholes PDE，您應該使用 $ y = \log(x) $ 空間。