哪類導數滿足 Black-Scholes PDE？
標題幾乎總結了這個問題，但我會提供一些背景資訊。
有一大類衍生品——例如那些收益僅取決於到期時股價的衍生品——它們確實滿足標準的 Black-Scholes PDE。同時，還有一些路徑依賴的衍生產品，例如亞洲期權和回溯期權，它們不滿足標準的 Black-Scholes PDE。
但是，存在一些灰色區域：障礙選項，顯然是路徑相關的，實際上確實滿足標準 Black-Scholes PDE。
美式期權帶來了額外的複雜性，合約可以在到期前行使。我實際上不確定美式看跌期權是否滿足標準的 Black-Scholes PDE；我知道美式看漲期權確實如此，因為提前行使美式看漲期權永遠不是最佳選擇——假設股票沒有股息——這使得它等同於歐洲看漲期權。
所有這些都引出了最初的問題：我們如何知道特定導數是否滿足標準 Black-Scholes PDE？
我想我已經找到了我的問題的答案：在推導 Black-Scholes PDE 時，我們寫出衍生價格 $ f $ 作為兩件事的函式——目前時間 $ t $ 和底層證券的價格 $ S_t $ . 這並不是說 $ f $ 不依賴於其他因素；它顯然取決於其他 5 個輸入 $ (r, \sigma, q, K, T) $ . 但是寫出衍生品價格的原因是 $ f(t, S_t) $ 就是它 $ t $ 和 $ S_t $ 是隨時間變化的輸入- 其他 5 個輸入是恆定的。
選擇明確顯示對 $ t $ 和 $ S_t $ ，而繞過對其他 5 個輸入的依賴起著至關重要的作用：它提醒我們衍生品價格的變化 $ df $ 只產生於時間的變化 $ dt $ 以及標的物價格的變化 $ dS_t $ .
所以要回答這個問題：衍生品的價格將取決於多種輸入。但如果只有其中兩個輸入—— $ t $ 和 $ S_t $ ——隨著時間的推移，衍生品價格將滿足 Black-Scholes PDE 的變化。讓我們看一些標準的例子來闡明這個想法。
- 在我們的模型中，標準歐式期權的價格僅因 $ t $ 和 $ S_t $ ，所以它們必須滿足 Black-Scholes PDE。
2)障礙選項取決於附加輸入：障礙水平。即使涉及額外的輸入，我們也會問自己“隨著時間的推移，輸入是否會發生變化？”。答案是一個響亮的“否”，這使我們得出結論——就像第 (1) 點一樣——只有兩個輸入，即 $ t $ 和 $ S_t $ 正在發生變化，使得障礙期權的價格滿足 Black-Scholes PDE。
3)亞洲期權還取決於額外的輸入：平均股價 $ A_t $ 到目前時間 $ t $ . 現在，這是一個輸入——與第 (2) 點中的恆定障礙水平不同——隨著時間的推移，它確實會發生變化。因此，亞洲期權的價格不再滿足 Black-Scholes PDE。為了找到亞洲期權的 PDE，我們必須寫出 $ f $ 作為 3 個輸入的函式： $ (t, S_t, A_t) $ . 因此，在找到差異的同時 $ df $ ，我們還得考慮 $ dA_t $ ——這將改變 PDE 的形式。
你有你提議的灰色區域的證據嗎？雖然標準的歐洲期權顯然屬於 BS 的職權範圍，但我不清楚障礙期權是否也適用。
例如，考慮一個寫在某個底層證券S上的普通看漲期權，其中包含行使價K和到期時間t，……以及一個在障礙特徵之外具有相同條款的向上和買入看漲期權，以價格設定乙。即使假設這兩個選項對於S < K和S > B的價值相同，但對於**K < S < B，儘管具有相同的 BS 輸入，它們顯然不值得。因此，他們的預期收益不能同時使用 BS 準確表示。