可以通過顯示任何兩個給定方之間的所有帕累托改進來證明多方系統中的帕累托效率嗎？

我已經證明了我開發的籌資系統的帕累托效率。實際上有四種類型的演員。我已經展示了所有 Pareto 改進都是在任何兩個給定方之間進行的（包括在同一方的兩個參與者之間）。我相信這個案例證明是有效的，但我不是 100% 確定的。我的一個擔憂是，我的證明中可能存在一些棘手的三向或四向交易。想法？

@HerrK。在他的評論中說得對（他應該從一開始就刪除有點令人困惑的“是”，然後將其作為答案發布）可能沒有成對的改進是可能的，但一般的帕累托改進仍然是可能的。三個演員和三個商品的一個簡單反例如下。讓所有參與者的效用函式相同，即

$$ U_A(x,y,z) = U_B(x,y,z) = U_C(x,y,z) = \min(x,y,z). $$ 讓演員 $ A $ 有 3 個單位的好 $ x $ , 和 0 單位的其他商品，而演員 $ B $ 有 3 個單位的好 $ y $ , 其他商品 0 件, 演員 $ C $ 有 3 個單位的好 $ z $ , 和 0 單位的其他商品。沒有成對的交換可以將效用增加到零以上。但是貨物可以被分配，這樣每個人都有一個單位。這會將所有實用程序增加到一個，從而使原始分配不是帕累託有效的。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/17328