將公司納入生產可能性集的有效前沿

我正在研究 Cooper 的數據包絡分析，他們正在研究生產可能性集。

他們展示了 9 家公司，每家公司有兩種投入和一種產出：

從圖形上很容易看出為什麼公司 (E,D,C) 構成了有效邊界，但是我正在努力尋找包含公司 D 的數學動機？你如何顯示它的輸入/輸出比率保證它包含在代數上而不是圖形上。

儘管我贊同@AlecosPapadopoulos 提出的許多觀點，但也許這對您的理解有所幫助。最終，我們可以將效率前沿視為構成產生特定產出的最有效方式（或生產方法）的公司。例如，如果我們的初始輸入包是（將它們列在 $ (x_1, x_2) $ 對） $ (2,5) $ ，唯一能產生一單位產出的企業是企業 E，因此它被包含在效率前沿。

但是像這樣的任何捆綁包呢 $ (4,3) $ 或者 $ (5,2) $ ? 顯然，企業 A 和 D 可以用第一個捆綁生產一個單位的產量，而企業 D 和 F 可以用第二個捆綁生產一個單位的產量。然而，在這兩種情況下，只有 D 公司是最有效率的生產者。

（我們為什麼要關心？也許如果我們試圖考慮滿足成本最小化問題的公司。假設每個單位的價格 $ x_1 $ 是 $ 1 $ 以及每個單位的價格 $ x_2 $ 是 $ 2 $ . 哪家公司生產成本最低？D 公司的生產成本僅為 $ $8 $ 每單位 $ y $ （而 C 和 E 的成本都是 $ $10 $ 每單位產量！），因此如果所有商品都是未分化的，則成本曲線是恆定的，公司 D 將主導市場）。

希望能澄清一點——如果我完全誤解了你的困惑，請告訴我。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/22491