公共產品的帕累託有效水平
作為入學考試自學的一部分，我正在解決以下問題。
經濟中有兩種消費者和兩種商品，一種是私人的，一種是公共的。消費者的效用由下式給出：
$$ u_1(x_1,y) = x_1+6\sqrt y $$
$$ u_2(x_2,y = x_2 + 10\sqrt y $$
在哪裡 $ x_i $ 是私人物品的數量，並且 $ y $ 是消費的公共物品的數量。私人物品的初始禀賦：
$$ \omega_1 = 40, \omega_2 = 60 $$.
一個單位的私人物品可以一對一地轉換為公共物品。
我的嘗試：
公共物品的帕累托效率水平由以下等式確定：
$$ |MRS_1| + |MRS_2| = MC(G) \quad (1) $$
在哪裡 $ MRS_1 = \frac{MU_G}{MU_{x_1}} $ , $ MRS_2 = \frac{MU_G}{MU_{x_2}} $ 和 $ MC(G) $ 是提供公共物品的邊際成本。
求解 $ (1) $ 使用給定的實用功能，我得到：
$$ \frac{3}{\sqrt y} + \frac{5}{\sqrt y} = 1 $$ $$ \implies y = 64 $$
因此，公共物品的帕累託有效水平為 $ y=64 $ .
問題要求選擇 Pareto Inefficient bundle $ (x_1,x_2,y) $ 其中：
一種。 $ (50,0,50) $
B. $ (90,0,10) $
C。 $ (0,80,20) $
D. $ (16,20,64) $
我認為所有的 A、B 和 C 都是帕累托無效的。
給出的答案是 C。
感謝您閱讀我的問題。
您計算的社會福利最大化結果（通過將邊際收益之和等於邊際成本）只是帕累託有效結果*之一。*雖然聯合效用最大化是帕累托效率的充分條件，但不是必要條件。帕累托效率的定義是缺乏帕累托改進——重新分配資源以至少使某人過得更好，而不會使其他人過得更糟。
選項 C 不是帕累託有效的，因為存在帕累托改進。在 $ (0,80,20) $ , $$ \begin{equation} u_1(0,20)=0+6\sqrt{20}\approx 26.83 \qquad u_2(80,20)=80+10\sqrt{20}\approx124.72. \end{equation} $$ 觀察到在這個捆綁包中，消費者 2 的 MU 是好的 $ y $ 是 $ 5/\sqrt{20}\approx1.11 $ 和他的 MU $ x $ 是 $ 1 $ . 因此，增加一單位商品 $ y $ 以少一個單位為代價 $ x $ 是消費者 2 的效用增強。同時，一個額外的 $ y $ 也有利於消費者 1。所以我們可以很容易地驗證 $ (0,79,21) $ 是一個帕累托改進 $ (0,80,20) $ : $$ \begin{equation} u_1(0,21)=0+6\sqrt{21}\approx27.495 \qquad u_2(79,21)=79+10\sqrt{21}\approx124.83 \end{equation} $$ 兩個消費者都體驗到更高的效用。
以類似的方式，您應該能夠驗證選項 A、B 和 D 不存在帕累托改進。