交換經濟中的完美互補偏好
所以我有點考試，我知道要找到最佳選擇，您必須使兩條無差異曲線的切線相等。但是，如果另一條無差異曲線是完美互補曲線，那麼 MRS 是什麼？我將 MRS 計算為無窮大/無窮大。
看看下面的問題：
假設 Jane 有 2 個單位的 x 和 2 個單位的 y 禀賦，並且有效用函式給出的偏好 $ u_J(x_J , y_J) = x_J^{2/3} \cdot y_J^{1/3} $ . 假設 Derek 有 4 個單位的 x 和 1 個單位的 y，並且有效用函式給出的偏好 $ u_D(x_D, y_D) = \min(x_D, 2 y_D) $ .
- 在 Edgeworth 箱形圖上，指出一組帕累託有效分配。說明它是如何確定的。
- 計算交換經濟的競爭均衡（價格和數量）
我關於 MRS 是無限大於無限的觀點是對的嗎？如果是，那麼當我不能等同於 MRS 時，我將如何計算帕累托效率結果？我在想解決方案將在 Derek 的無差異曲線的頂點之一上，但我不確定（因為扭結不是差異）。
有任何想法嗎？
一組帕累託有效分配由可行分配組成 $ ((x_J, y_J), (x_D, y_D)) $ 令人滿意的 $ y_J=\displaystyle\frac{x_J}{2} $ .
競爭均衡就是價格 $ (p_x, p_y=1) $ 滿足以下條件：
- 預算要求： $ p_xx_J+ y_J = 2p_x + 2 $ 和 $ p_xx_D+ y_D = 4p_x + 1 $
- 平衡條件： $ \displaystyle\frac{2y_J}{x_J} = p_x $ 和 $ y_D=\displaystyle\frac{x_D}{2} $
求解方程組，我們得到均衡價格向量： $ (p_x, p_y) = (1,1) $ 均衡分配是 $ ((x_J, y_J), (x_D, y_D)) = \displaystyle \left(\left(\frac{8}{3}, \frac{4}{3}\right), \left(\frac{10}{3}, \frac{5}{3}\right)\right) $
完美補語等價於 Leontief 效用：
$ U(x,y) = min(x/a_x, y/a_y) $
MRS 定義為：
$ MRS_x,y = MU_x / MU_y $
由於這個效用函式是不可微的，所以邊際替代的概念對 Derek 沒有很好的定義。但是，我們不需要 Derek 的邊際論據來解決問題。一個函式不必是可微的，也可以有一個唯一的最大值。Derek 有 Leontief 偏好，因此想要消費 $ x_d = 2 y_d $ 所有價格。他耗盡了他的財富（他的禀賦）： $ 4 p_x + 1 p_y = w = x_d p_x + y_d p_y $
我們可以用它來解決 $ y_d = (4 p_x + 1 p_y) / (p_y + 2 p_x) $ (eqn 1) 和 $ x_d = 2 (4 p_x + 1 p_y) / (p_y + 2 p_x) $ （方程 2）。
Jane 有 Cobb-Douglas 偏好，因此想在 x 上花費不變的預算份額： $ x_j p_x / (2 p_x + 2 p_y) = 2/3 $ 和 $ y_j p_y / (2 p_x + 2p_y) = 1/3 $ . 我們也可以解決這些問題 $ x_j = (2/3) / (p_x / (2 p_x + 2 p_y) ) $ (eqn 3) 和 $ y_j = (1/3) / (p_y / (2 p_x + 2p_y)) $ （方程 4）。
然而，我們也知道，在均衡 $ y_j + y_d = 3 $ (eqn 5) 和 $ x_j + x_d = 6 $ (eqn 6) 這是 6 個方程和 6 個未知數 ( $ p_x, p_y, x_d, y_d, x_j, y_j $ ) 並且可以求解均衡價格和分配。