在=xy在=X是U=xy對於一個小島上的所有人，什麼是帕累託有效分配？

在某個島上，只有小麥和牛奶兩種商品。唯一稀缺的資源是土地。有1000畝土地。一英畝土地將生產 16 個單位的牛奶或 37 個單位的小麥。有些公民有很多土地，有些人只有一點點。島上的居民都有 U(M,W)=MW 形式的效用函式。在每個帕累托最優分配中，

(a) 生產的牛奶單位數等於生產的小麥單位​​數。

(b) 總產奶量為 8,000

(c) 每個消費者在牛奶和小麥之間的邊際替代率 -1。

(d) 在每個帕累托最優分配中，以上都不是真的。

你好，是大家的MRS嗎= $ \frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d} M}=\frac{37}{16} $ ?

另外，什麼是帕累託有效分配？

1. 帕累託有效分配是不可能改變分配並在不使其他人變得更糟的情況下使某人變得更好的分配。
2. 在這種經濟中，您可以生產 16,000 單位牛奶或 37,000 單位小麥，並且通過將一英畝從生產牛奶變為生產小麥，您可以用 16 單位牛奶換取 37 單位小麥。- 16 / 37 是生產可能性邊界的斜率。
3. 生產一單位小麥的價格是一英畝的 1/37。生產一單位牛奶的價格是一英畝的 1/16。總共有1000英畝。整個島嶼的問題是：

$ \max_{w,m} \quad m\cdot w \quad s.t. \quad 1,000 = \frac{1}{16} m + \frac{1}{37} m $

這可以重寫為拉格朗日 $ \Lambda $ :

$ \Lambda = m\cdot w + \lambda \left(1,000 - \frac{1}{16} m - \frac{1}{37}w\right) $

最大的一階條件為：

$ m: w - \frac{1}{16} \cdot \lambda = 0\ $

$ w: m - \frac{1}{37} \cdot \lambda = 0\ $

$ \lambda: 1,000 - \frac{1}{16} m - \frac{1}{37}w = 0\ $

這可以重寫為：

$ 16 w = \lambda $

$ 37 m = \lambda $

或者，

$ \frac{16}{37} = \frac{m^}{w^} $ （因此，處於平衡狀態的 MRS 不等於 - 1。）

堵塞 $ \frac{16}{37}w^* = m^* $ 回到 $ \lambda: $ :

$ w^* = 18,500 $ $ m^* = 8,000 $

答案是b。

之所以可以將每個單獨的問題視為整個島嶼的問題，是因為所有主體的效用函式相同，只是它們之間的土地數量不同。因此，所有代理的問題都是相同的。唯一的區別是他們被限制在的土地數量。

希望這有幫助嗎？

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/16476