年金
找出年金的現值和未來值之間的關係
以下是之前金融數學的一道試題：
如果 $ A, r, n, PV $ 和 $ FV $ 分別表示普通年金（即期年金）金額、利率、年數、年金現值和未來值，求兩者之間的關係 $ PV $ 和 $ FV $ .
我需要一些幫助來說明這種“關係”，因為這個問題被分配了 6 分。
我知道立即年金的現值可以由下式給出： $ PV = K\left[ {\frac{{1 - {{\left( {1 + r} \right)}^{ - n}}}}{r}} \right] $ 在哪裡 $ K $ 是每期的金額；但是在這種情況下如何使用呢？
假設年金從第 1 年到第 n 年每年支付 K，您可以將其 PV 寫成如下：
$ PV=K \left( \frac{1}{1+r} +\frac{1}{(1+r)^2 }+ \dots + \frac{1}{(1+r)^n} \right) $
和 FV，注意到第一個 K 被投資了 n-1 個週期，最後一個在 n 時收到：
$ FV=K \left( (1+r)^{n-1} + (1+r)^{n-2}+ \dots+ 1 \right) $
現在只需比較兩個方程右側的表達式。PV乘以 $ (1+r)^n $ 然後將使第一個方程的 rhs 等於第二個方程的 rhs，因此：
$ FV=PV ,(1+r)^n $