將風險中性措施擴展到保險/死亡率過濾
在保險數學中，人們經常在過濾的機率空間上使用 Black Scholes 模型對保險單的基礎進行建模 $ (\Omega,\mathbb{Q},\mathcal{F},\mathbb{F}=(\mathcal{F}_{t})) $ 和 $ \mathbb{Q} $ 是風險中性指標。例如，現在想評估一種純禀賦產品，即在固定時間 $ T $ 相關股票價格 $ S(T) $ 如果投保人當時還活著，則支付 $ T $ 否則沒有支付。此外，此類產品通常包含一些進一步的財務保證，即最低支付。但這對我的問題並不重要。
因此，還必須對死亡率進行建模。為此，人們常常認為 $ T_{x} $ 未來的壽命 $ x $ -歲和套 $ \mathcal{G}{t}:=\sigma(\mathbb{1}{{T_{x}\leq s }}\vert s\leq t) $ ，它定義了“保險過濾” $ \mathbb{G}=(\mathcal{G}{t}) $ . 然後考慮擴大過濾 $ \mathbb{H}=\mathbb{F}\vee\mathbb{G} $ 並在過濾後的空間上工作 $ (\Omega,\mathbb{Q},\mathcal{F},\mathbb{H}) $ . 然後將生存機率定義為 $ p{x+t}(t,T):=\mathbb{Q}(T_{x}>T\vert \mathcal{H}_{t}) $ .
不幸的是，我從來沒有找到一個普遍的好的和正式的說明。許多事情似乎是隱含的假設。我的問題：
- 這種通用建模方法有什麼好的參考嗎？
- 為什麼風險中性措施甚至可以擴展到擴大的空間，特別是用於衡量死亡率？
- 或者，他們是否需要任何特殊條件？
- 如果我們假設死亡率獨立於金融市場，我們是否還需要這些？
非常感謝您的幫助。
我是保險數學的博士生，所以我認為我可以很好地回答您的問題。
正如您所說，許多保險產品都有財務成分和精算成分，即對被保險人的生存或死亡提供一些財務保證。
大多數保險文件通過風險中性估值為這種類型的收益定價。如果您假設在 Q 下股權和死亡風險是獨立的，您可以將收益分解為風險中性預期的乘積。因此，您將問題分解為純財務收益和純精算收益。
對於保險收益，大多數論文通過不同的論點假設 P 和 Q 下的動態是相同的，因此，您可以將歷史數據用於精算部分。
對於金融部分，如果您假設金融市場是完整的（如 BS 經濟），那麼您有一個獨特的 Q 並且定價很簡單。否則，您可以通過流行的標準“挑選”一個像樣的 Q（例如 Esscher 風險中性度量或最小風險中性度量）
請注意，所有這些事情都運作良好，因為您假設財務和精算風險在 Q 下是獨立的。但是，P 下的獨立性並不意味著 Q 下的獨立性。
如果你對這類研究感興趣，我建議你在他的網站上閱讀我導師的論文：
特別是，論文：關於金融和精算風險之間的（不）依賴性。(2013)