如何計算幾何布朗運動的條件期望值？
我正在做一個項目，我必須使用幾何布朗運動後股票變化的累積和條件期望值。
我知道累積如下：
$$ \mathbb{E}\left[ \mathbb{1}{ \frac{S{i+1}}{S_{i}} < z}\right] = \mathbb{P} \left[ \frac{S_{i+1}}{S_{i}} < z \right] = \Phi\left(\frac{\log(z) - (r- \frac{\sigma^2}{2})(t_{i+1}-t_i)}{\sigma \sqrt{t_{i+1}-t_i}}\right) $$ $ \Phi $ 為標準正態分佈累積函式。
但我找不到條件期望值的表達式：
$$ \mathbb{E}\left[\frac{S_{i+1}}{S_i} 1_{\frac{S_{i+1}}{S_i}<z}\right] $$
注意
$$ \begin{align*} E\bigg(\frac{S_{i+1}}{S_i}\mathbb{I}{\frac{S{i+1}}{S_i} < z}\bigg) &=zE\bigg(\mathbb{I}{\frac{S{i+1}}{S_i} < z}\bigg)-E\bigg(\Big(z-\frac{S_{i+1}}{S_i}\Big)\mathbb{I}{\frac{S{i+1}}{S_i} < z}\bigg) \ &=zP\bigg(\frac{S_{i+1}}{S_i}<z\bigg)-E\bigg(\Big(z-\frac{S_{i+1}}{S_i}\Big)^+\bigg). \end{align*} $$ 然後，您可以使用看跌期權定價公式計算預期。 或者，請注意
$$ \begin{align*} \frac{S_{i+1}}{S_i} &= e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(t_{i+1}-t_i) + \sigma (W_{t_{i+1}}-W_{t_i})}\ &=e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(t_{i+1}-t_i) + \sigma \sqrt{t_{i+1}-t_i} \xi}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \xi $ 是標準正態隨機變數。然後 $ \frac{S_{i+1}}{S_i}<z $ 相當於 $$ \begin{align*} \xi <\frac{\ln z-(r-\frac{\sigma^2}{2})(t_{i+1}-t_i)}{\sigma \sqrt{t_{i+1}-t_i}}. \end{align*} $$ 讓 $$ \begin{align*} d_2 = -\frac{\ln z-(r-\frac{\sigma^2}{2})(t_{i+1}-t_i)}{\sigma \sqrt{t_{i+1}-t_i}}. \end{align*} $$ 然後我們有 $$ \begin{align*} E\bigg(\frac{S_{i+1}}{S_i}\mathbb{I}{\frac{S{i+1}}{S_i} < z}\bigg) &= \int_{-\infty}^{-d_2}e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})(t_{i+1}-t_i) + \sigma \sqrt{t_{i+1}-t_i} x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\ &=\int_{-\infty}^{-d_2}e^{r(t_{i+1}-t_i) }\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\big(x - \sigma \sqrt{t_{i+1}-t_i}\big)^2}{2}}dx\ &=\int_{-\infty}^{-d_2- \sigma \sqrt{t_{i+1}-t_i}}e^{r(t_{i+1}-t_i) }\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\ &=e^{r(t_{i+1}-t_i) }\Phi(-d_1), \end{align*} $$ 在哪裡 $$ \begin{align*} d_1 = d_2+ \sigma \sqrt{t_{i+1}-t_i}. \end{align*} $$