用幾何布朗運動建模無漂移股票價格
我希望了解一些關於用幾何布朗運動（原始）模擬股票價格的基本事實。
如果 $ S(t) $ 是當時的股價 $ t $ , 股票價格服從幾何布朗運動分佈，則應滿足
$$ dS(t) = S(t)\left(\mu dt + \sigma d B(t)\right) $$ 在哪裡 $ B(t) $ 是標準線性布朗運動，並且 $ \mu $ 有時稱為漂移。解決這個問題 $ S(t) $ 給 $$ S(t) = S(0)\cdot \exp\left(\sigma B(t) + \left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t\right) $$ 假設沒有漂移（也許沒有趨勢），我們得到以下結果：
$$ S(t) = S(0)\cdot \exp\left(\sigma B(t) -\frac{\sigma^2}{2}t\right) $$ 因此 $$ \ln\frac{S(1)}{S(0)} \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2} $$ 特別是 $$ \begin{eqnarray*} \mathbb{E}\left(\ln\frac{S(1)}{S(0)}\right) &=& \int_{-\infty}^\infty x\cdot\mathbb{P}\left(\mathcal{N}(0,\sigma^2) = x +\frac{\sigma^2}{2}\right) dx\ &=& \int_{-\infty}^\infty x \cdot \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot\exp\left(-\frac{\left(x+\frac{\sigma^2}{2}\right)^2}{2\sigma^2}\right) dx \end{eqnarray*} $$ 看起來像
$$ \mathbb{E}\left(\ln\frac{S(1)}{S(0)}\right) = -\frac{\sigma^2}{2} $$ 這是我所期望的。然而，我無法計算出更有趣的期望： $$ \begin{eqnarray*} \mathbb{E}\left(\frac{S_1}{S_0}\right) &=& \int_{-\infty}^\infty x\cdot \mathbb{P}\left(\exp\left(\mathcal{N}(0,\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2}\right)=x\right)dx\ &=& \int_{-\infty}^\infty x\cdot\mathbb{P}\left(\mathcal{N}(0,\sigma^2)=\ln{x}+\frac{\sigma^2}{2}\right)dx\ &=& \int_{-\infty}^\infty \frac{x}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot \exp\left(-\frac{\left(\ln{x} + \frac{\sigma^2}{2}\right)^2}{2\sigma^2}\right)dx = ? \end{eqnarray*} $$ 我希望該期望為 1，因為沒有漂移。但是，我無法進行整合。假設積分的結果是 1 是真的嗎？
要直接解決期望，您需要記住密度函式與事件的機率不同。
我們有， $ \frac{S_1}{S_0} \sim \ln \mathcal{N} \left(-\frac{\sigma^2}{2},\sigma\right) $ ， 所以，
$$ \begin{eqnarray} \mathbb{E}\left(\frac{S_1}{S_0}\right) &=& \int_{-\infty}^\infty x, f_{\frac{S_1}{S_0}}(x)dx\ &=&\int_{-\infty}^\infty x , \frac{1}{x\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{\left(\ln x+\frac{\sigma^2}{2}\right)^2}{2\sigma^2}\right]dx. \end{eqnarray} $$ 通常的替換方法旨在將表達式操縱為看起來像標準法線。為此，我們使用 $ z=\frac{\ln x + \frac{\sigma^2}{2}}{\sigma}-\sigma $ 我們得到了替換 $ dx=x \sigma dz $ 和 $ x=\exp(\sigma z + \frac{\sigma^2}{2}) $ . $$ \begin{eqnarray} \mathbb{E}\left(\frac{S_1}{S_0}\right) &=& \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \sigma \exp\left(\sigma z + \frac{\sigma^2}{2}\right) \exp\left( \frac{-z^2 - 2\sigma z -\sigma^2}{2} \right)dz\ &=&\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right) dz\ &=&1. \end{eqnarray} $$