指數徵費過程的風險中性 Esscher 變換
讓 $ X_t $ 是一個徵費程序和 $ e^{X_t} $ 對應的指數徵稅過程。使用 Esscher 變換來改變 Radon-Nykodym 導數為的測度
$$ \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} = \frac{e^{\theta X_T}}{E[e^{\theta X_T}]}, $$ 我正在尋找 Esscher 參數 $ \theta $ 使得該措施 $ \mathbb{Q} $ 是風險中性的，即滿足以下等式：
$$ E^{\mathbb{Q}}[e^{X_T} \vert \mathcal{F}_t] = e^{X_t} $$ 在哪裡 $ T>t $ 和 $ \mathcal{F}_t $ 是時間 t 的過濾。我的目標是找到一個明確的公式 $ \theta $ 就 Levy 過程的特徵函式而言。 我嘗試過的： 使用貝氏規則
$$ E^{\mathbb{Q}}[X \vert \mathcal{F}] = \frac{E^{\mathbb{P}}[ X f \vert \mathcal{F}]}{E^{\mathbb{P}} [f \vert \mathcal{F}]} $$ 在哪裡 $ f $ 是 Radon-Nykodym 導數 $ dQ/dP $ ，我們得到$$ E^{\mathbb{P}} \left[ \frac{e^{\theta X_T}}{E^{\mathbb{P}}[e^{\theta X_T}]} e^{X_T} \bigg| \mathcal{F}_t \right]\frac{1}{ E^{\mathbb{P}} \left[ \frac{e^{\theta X_T}}{E^{\mathbb{P}}[e^{\theta X_T}]} \big| \mathcal{F}_t \right]} = e^{X_t} \Leftrightarrow\ E^{\mathbb{P}} [e^{(\theta +1) X_T} | \mathcal{F}_t] = e^{X_t} E^{\mathbb{P}}[e^{\theta X_T} | \mathcal{F}_t] $$自從 $ e^{(\theta+1)X_t} $ 是 $ \mathcal{F}_t $ - 可測量，這可以寫成$$ e^{(\theta +1 )X_t} E^{\mathbb{P}}[e^{(\theta +1)(X_T-X_t)} | \mathcal{F}_t] = e^{X_t} E^{\mathbb{P}}[e^{\theta X_T} | \mathcal{F}t] $$通過 Levy 過程增量的平穩性，這可以寫成$$ e^{\theta} E^{\mathbb{P}}[e^{(\theta +1)X{T-t}} | \mathcal{F}_t] = E^{\mathbb{P}}[e^{\theta X_T} | \mathcal{F}_t] $$ 現在通過進行替換 $ \theta +1 = iu $ 我們用特徵函式重寫方程： $$ e^{\theta} e^{(T-t)\psi(u)} = e^{t\psi(u)}E(e^{-X_T}|\mathcal{F}_t) $$ 在哪裡 $ \psi $ 是特徵指數。這幾乎是我所需要的，除了額外的期望。該怎麼辦？我對連續時間模型的過濾知識有限，所以我也不確定上述計算是否正確。
我通過在 math.stackexchange 上發布它的摘錄來解決這個問題： https ://math.stackexchange.com/questions/716242/equation-involving-expectations-of-levy-processes
在ESSCHER TRANSFORMS的期權定價一文中，作者廣泛探討了這個主題，並提供了能夠計算風險中性的方程 $ \theta $ .
另請注意，您可以輕鬆處理
$$ e^{\theta} e^{(T-t)\psi(u)} = e^{t\psi(u)}E(e^{-X_T}|\mathcal{F}_t) $$ 如果過程 $ X_t $ 本身有很好的屬性。可以在 GBM 案例中解決它。如果明確**知道過程的轉變密度，**也應該可以得到解決方案。