均值回歸對上限敲除看漲期權的影響是什麼？
考慮底層證券的均值回歸正態模型
$ dX^{(1)}_t=-\kappa X^{(1)}_tdt+\sigma^{(1)} dW^{(1)}_t $ ,
對於固定的與時間無關的常數， $ \kappa $ （均值回歸）和 $ \sigma^{(1)} $ （波動性）和布朗運動， $ W^{(1)}_t $ . 假設使用這個模型，我計算所有的期權價格 $ t $ ，然後校準與時間相關的局部體積， $ \sigma_t^{(2)} $ ，第二個正態模型（沒有均值回歸）
$ dX^{(2)}_t=\sigma_t^{(2)} dW^{(2)}_t $ ,
這樣這兩個模型在任何時候都給出相同的原版選項價格。
在第一個或第二個模型中，連續的上限敲除看漲期權會更便宜嗎？
為簡單起見，取 $ X_0=Y_0=0 $ ，並假設上障礙， $ B $ , 大於罷工, $ K $ .
當您在非均值回歸模型中求解局部 vol 時，您會發現它也取決於罷工。因此，您只能匹配兩個模型之間的普通期權價格以進行單次執行。
假設您選擇了與普通期權價格相匹配的行使價 K>0。您會發現，對於行使價 B，其中 B>K，均值回歸模型產生較低的期權價格，因為它發生極端變動的可能性較小。現在，從簡單的角度來看，障礙期權由 B 行權價的空頭期權組成——因此，假設 K 行權價已經匹配，障礙期權在均值回歸模型下的價值更高。
首先，這不是一個完整的答案，但它可能會對您有所幫助。
你可能打 $ B $ 快速與 $ (1) $ 比與 $ (2) $ .
先前斷言的提示
我可能會重新表述你的問題。
我想你的定價條件是$$ \left\langle X^{(2)}\right\rangle_t=\left\langle X^{(1)}\right\rangle_t $$所以你得到：
$$ X^{(1)}_t = \int_0^t\sigma^{(1)}e^{-\kappa(t-u)}dW^{(1)}_u $$
和
$$ X^{(2)}_t = \int_0^t\sigma^{(1)}e^{-\kappa u} dW^{(2)}_u $$
然後你想研究之間是否存在順序 $ \tau^1_B $ 和 $ \tau^2_B $
$$ \tau^i_B=\inf\left{t\geq 0:X^{(i)}_t\geq B\right} $$
環境 $ V(t)=\left\langle X^{(2)}\right\rangle_t=\left\langle X^{(1)}\right\rangle_t $ 和 $$ Y^i_t(\lambda) = e^{\lambda X^i_t -\frac{\lambda^2}{2}V(t)} $$
你得到（證明它（我想我有證據，但我不確定）） $ \lambda\geq 0 $
$$ \mathbb{E}[Y^2_t(\lambda)|Y^2_s(\lambda)]=Y^2_s(\lambda) $$ 然而 $$ \mathbb{E}[Y^1_t(\lambda)|Y^1_s(\lambda)]\geq Y^1_s(\lambda) $$
所以你得到：
$$ \mathbb{E}[e^{-\frac{\lambda^2}{2}V(\tau^2_B)}]\leq \mathbb{E}[e^{-\frac{\lambda^2}{2}V(\tau^1_B)}] $$
這使 $ \tau^2_B>\tau^1_B $ 自從 $ V $ 在增長。
我知道這不是第一個斷言的證明，但我希望它可以幫助你。