彈性和對數

讓我們考慮一下兩者之間的關係 $ y $ 和 $ x $ , $ y = a x^b $ . 兩邊都取log，我們有$$ \log y = \log a + b \log x $$

現在，我的教科書 Nicholson 和 Snyder 的《基本原理和擴展》推導出彈性與兩個變數的對數之間的關係：

$$ \eta = b = \frac{ d \log y}{d \log x} $$

現在，我明白了 $ d \log y = \frac 1y dy $ 和 $ d \log x = \frac 1x \ dx $ . 所以我明白為什麼我們可以寫 $ \eta = \frac {d \log y}{d \log x} $ . 我不明白的是：為什麼 $ b $ ，這是變數的冪 $ x $ ， 平等的 $ \eta $ ?

這是書中的截圖：

因為 $ a $ 是一個參數，所以 $$ \eta = \frac{ d \log y}{d \log x} = \frac{ d \log a + d \ b \log x}{d \log x} = 0 + b. $$

對等式兩邊求微分 $ x $ ，使用左側的鍊式法則並註意到，因為 $ a $ 是一個參數， $ da/dx=0 $ : $$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=b\frac{1}{x} $$ 重新排列： $$ \frac{dy/y}{dx/x}=\eta=b $$

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/26401